影子價格長短期的劃分及其計算方法

引言

影子價格是運籌學(xué)、管理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個重要概念。在實際計算中采用一般偏向求導(dǎo)法或者單純形表可以衡量資源的影子價格。但是，長期生產(chǎn)所對應(yīng)的影子價格的論述較為罕見。本項研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對偶函數(shù)的極點值著手，利用Akgulm所提出的影子價格方向?qū)?shù)定義，計算短、長期生產(chǎn)所對應(yīng)的影子價格。

一、問題的提出

影子價格與線性規(guī)劃對偶理論淵源極深，考慮如下一對線性規(guī)劃問題，原規(guī)劃問題(1)。

maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n(1)

maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m(2)

如果y*=(y*1，y*2，…，y*m)T為對偶規(guī)劃(2)的最優(yōu)解，則最優(yōu)值z*可看做是資源量bi(i=1，2，…，m)的一個函數(shù)，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m(3)，對bi求右向偏導(dǎo)數(shù)即為y*i：

y*i=，i=1，2，…，m(4)

顯然，此影子價格僅對應(yīng)于一個短期生產(chǎn)問題，其前提是其他資源數(shù)量保持不變，一般通過單純形法求得。

考慮一個生產(chǎn)運作問題。設(shè)某工廠利用K、L兩種資源生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，資源要素量、產(chǎn)品的單位價格及可耗用的資源總量(如表1所示)：

表1 生產(chǎn)有關(guān)數(shù)據(jù)表

對于上述問題，為確定最優(yōu)資源配置計劃，以收益為目標(biāo)函數(shù)，以可耗資源為約束，構(gòu)造線性規(guī)劃問題(5)。

max3x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0(5)

利用單純形法對問題(5)求解，結(jié)果(如表2所示)。

表2初始線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形

根據(jù)表2，推斷資源K的影子價格為，資源L的影子價格為。

但是，如果我們對資源K、L的數(shù)量同時進(jìn)行調(diào)整的長期生產(chǎn)問題，上述計算方法難以確定資源影子價格，需要引進(jìn)新的定義方式與計算方法。

二、影子價格的長期劃分與計算

本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產(chǎn)最優(yōu)值函數(shù)的極點解進(jìn)行分析，通過Akgulm的方向?qū)?shù)進(jìn)而確定長期多資源變化的影子價格。

Akgulm定義了函數(shù)Z*(b1，…，bm)在資源組合點B處沿方向u=(u1，u2，…，um)T∈Rm的導(dǎo)數(shù)：

Duz*(b)=limt→0+(6)

為資源組合u的影子價格。利用凸分析的一個結(jié)論，有Duz*(b)=min{uTy|y∈z*(b)}(7)，通過(7)式我們可以求得多種資源變化時的影子價格，我們稱之為資源的組合影子價格。

三、長期資源調(diào)整的計算示例

對于例題，原規(guī)劃問題的對偶可行域的極點有三個，分別為(0，3)(，)(2，0)，于是在短期生產(chǎn)范圍內(nèi)，給定b1=600不變，僅b2發(fā)生變化，即此時資源組合點B沿單位方向(0，1)方向發(fā)生變化：

=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1

(7)

在長期范圍內(nèi)，多種資源甚至所有資源投入都可進(jìn)行調(diào)整，資源可以就任何方向進(jìn)行調(diào)整。比如，假設(shè)當(dāng)前要素組合沿單位方向=，進(jìn)行調(diào)整，由于最優(yōu)對偶解單一，此時資源組合的影子價格如下：

Dz*(b1，b2)=，1 800≤b1(a)，300≤b2<1 800(b)，0≤b2<300(c)(8)< p="">

結(jié)論

實際生產(chǎn)總表現(xiàn)出某種時期特性，不同時期特性下的影子價格定義方式、估計方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動對收益的影響，采用收益函數(shù)對該要素的右向偏導(dǎo)數(shù)即可。如果給定時間范圍內(nèi)涉及到至少兩種以上生產(chǎn)要素的調(diào)整，則需采用方向?qū)?shù)方能測度投入要素對收益函數(shù)的影響，唯有如此才能根據(jù)影子價格合理指導(dǎo)資源配置。

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