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2012年吉林公務(wù)員《行測》數(shù)學(xué)運(yùn)算題型講解(1)
1.由于工程問題解題中遇到的不是具體數(shù)量,與學(xué)生的習(xí)慣性思維相逆,同學(xué)們往往感到很抽象,不易理解。
2.比較難的工程問題,其數(shù)量關(guān)系一般很隱蔽,工作過程也較為復(fù)雜,往往會出現(xiàn)多人多次參與工作的情況,數(shù)量關(guān)系難以梳理清晰。
3.一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、流水問題、工資分配、周期問題等,其實質(zhì)也是工程問題,但同學(xué)們易受其表面特征所迷惑,難以清晰分析、理解其本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征是工程問題,從而未按工程問題思路解答,誤入歧途。
工程問題是從分率的角度研究工作總量、工作時間和工作效率三個量之間的關(guān)系,它們有如下關(guān)系:工作效率×工作時間=工作總量;工作總量÷工作效率=工作時間;工作總量÷工作時間=工作效率。那我們應(yīng)該怎樣分析工程問題呢?
1.深刻理解、正確分析相關(guān)概念。
對于工程問題,要深刻理解工作總量、工作時間、工作效率,簡稱工總、工時、工效。通常工作總量的具體數(shù)值是無關(guān)緊要的,一般利用它不變的特點,把它看作單位“1”;工作時間是指完成工作總量所需的時間;工作效率是指單位時間內(nèi)完成的工作量,即用單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之一或幾分之幾來表示工作效率。
分析工程問題數(shù)量關(guān)系時,運(yùn)用畫示意圖、線段圖等方法,正確分析、弄請題目中哪個量是工作總量、工作時間和工作效率。
2.抓住基本數(shù)量關(guān)系。
解題時,要抓住工程問題的基本數(shù)量關(guān)系:工作總量=工作效率×工作時間,靈活地運(yùn)用這一數(shù)量關(guān)系提高解題能力。這是解工程問題的核心數(shù)量關(guān)系。
3.以工作效率為突破口。
工作效率是解答工程問題的要點,解題時往往要求出一個人一天(或一個小時)的工作量,即工作效率(修路的長度、加工的零件數(shù)等)。如果能直接求出工作效率,再解答其他問題就較容易,如果不能直接求出工作效率,就要仔細(xì)分析單獨(dú)或合作的情況,想方設(shè)法求出單獨(dú)做的工作效率或合作的工作效率。
工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做、幾人合作或輪流做的情況,分析時要梳理、理順工作過程,抓住完成工作的幾個過程或幾種變化,通過對應(yīng)工作的每一階段的工作量、工作時間來確定單獨(dú)做或合作的工作效率。也常常將問題轉(zhuǎn)化為由甲(或乙)完成全部工程(工作)的情況,使問題得到解決
要抓住題目中總的工作時間比、工作效率比、工作量比,及抓住隱蔽的條件來確定工作效率,或者確定工作效率之間的關(guān)系。
總之,單獨(dú)的工作效率或合作的工作效率是解答工程問題的關(guān)鍵。
【例1】一件工作,甲單獨(dú)做12小時完成,乙單獨(dú)做9小時可以完成。如果按照甲先乙后的順序,每人每次1小時輪流進(jìn)行,完成這件工作需要幾小時?
【解析】設(shè)這件工作為“1”,則甲、乙的工作效率分別是1/12和1/9。按照甲先乙后的順序,每人每次1小時輪流進(jìn)行,甲、乙各工作1小時,完成這件工作的7/36,甲、乙這樣輪流進(jìn)行了5次,即10小時后,完成了工作的35/36,還剩下這件工作的1/36,剩下的工作由甲來完成,還需要1/3小時,因此完成這件工作需要31/3小時。
【例2】一份稿件,甲、乙、丙三人單獨(dú)打各需20、24、30小時?,F(xiàn)在三人合打,但甲因中途另有任務(wù)提前撤出,結(jié)果用12小時全部完成。那么,甲只打了幾小時?
【解析】設(shè)打這份稿件的總工作量是“1”,則甲、乙、丙三人的工作效率分別1/20、1/24和1/30。在甲中途撤出前后,其實乙、丙二人始終在打這份稿件,乙、丙12小時打了這份稿件的9/10,還剩下稿件的1/10,這就是甲打的。所以,甲只打了2小時。
【例3】 一件工程,甲、乙合作6天可以完成。現(xiàn)在甲、乙合作2天后,余下的工程由乙獨(dú)做又用8天正好 做完。這件工程如果由甲單獨(dú)做,需要幾天完成?
【解析】甲、乙合作2天,甲2乙2,剩下應(yīng)該是甲4乙4=乙8.則甲=乙,所以甲單獨(dú)完成需要12天。
【例4 】一個游泳池,甲管放滿水需6小時,甲、乙兩管同時放水,放滿需4小時。如果只用乙管放水,則放滿需:
A 8小時 B 10小時 C 12小時 D 14小時 (2001年A類真題)
【解析】:設(shè)游泳池放滿水的工作量為1,甲管放滿水需6小時,則甲每小時完成工作量的1/6甲、乙兩管同時放水,放滿需4小時,則甲乙共同注水,每小時可注游泳池的1/4,則乙每小時注水的量為1/4-1/6=1/12,則如果只用乙管放水,則放滿需12小時。
另法:甲乙同時放水需要4小時=甲4乙4=甲6 則乙=0.5甲,需要12小時。
【例5】 一個水池有兩個排水管甲和乙,一個進(jìn)水管丙.若同時開放甲、丙兩管,20小時可將滿池水排空;若同時開放乙、丙兩水管,30小時可將滿池水排空,若單獨(dú)開丙管,60小時可將空池注滿.若同時打開甲、乙、丙三水管,要排空水池中的滿池水,需幾小時?
【解析】工程問題最好采用方程法。
由題可設(shè)甲X小時排空池水,乙Y小時排空池水,則可列方程組
1/X-1/60=1/20 解得X=15
1/Y-1/60=1/30 解得Y=20
則三個水管全部打開,則需要1÷(1/15+1/20-1/60)=10
所以,同時開啟甲、乙、丙三水管將滿池水排空需10小時。
【例6】 鋪設(shè)一條自來水管道,甲隊單獨(dú)鋪設(shè)8天可以完成,而乙隊每天可鋪設(shè)50米。如果甲、乙兩隊同時鋪設(shè),4天可以完成全長的2/3,這條管道全長是多少米?
A 1000米 B 1100米 C 1200米 D 1300米 (2002年B類真題)
【解析】設(shè)乙需要X天完成這項工程,依題意可列方程
(1/8+1/X)×4=2/3
解得X=24
也即乙每天可完成總工程的1/24,也即50米,所以管道總長為1200米。
所以,正確答案為C。
另法:甲4天完成1/2,乙4天完成200米=1/6,全長1200米。
【例7】一項工程甲乙丙合作5天完成,現(xiàn)在三人合作2天后,甲調(diào)走,乙丙繼續(xù)合作5天后完工,問甲一人獨(dú)做需幾天完工?
【解析】三人合作2天完成2/5,剩余3/5需要乙丙5天,效率為3/25,則甲的效率為1/5-3/25=2/25,所以甲單獨(dú)做需要12.5天。
【例8】制作一批零件,甲車間要10天完成;茹果甲車間和乙車間一起做只要6天就能完成,乙車間和丙車間一起做需要8天。現(xiàn)在三個車間一起做,完成后發(fā)現(xiàn)甲比乙多做2400個。丙制作零件多少個?
【解析】效率比 甲:乙=3:2,則乙單獨(dú)需要15天,則乙:丙=8:7,則甲:乙:丙=12:8:7,假設(shè)丙做了7X個,則甲比乙多做4X=2400,7X=4200個。
【例9】蓄水池有甲丙兩條進(jìn)水管和乙丁兩臺排水管。要注滿一池水,單開甲管要3小時,單開丙管要5小時。要排光一池水,單開乙管要4小時,單開丁管要6小時?,F(xiàn)知池內(nèi)有1/6池水,如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁……的順序輪流各開一小時,問多少時間后,水開始溢出水池?
【解析】甲乙丙丁四條水管各開一個小時以后,也就是一個輪回,水池的水量是:
(1/3+1/5)-(1/4+1/6)=7/60;
當(dāng)N個輪回結(jié)束,水池水量超過2/3時候,再單獨(dú)開甲就要有水溢出。
1/6+N*7/60=2/3 解得N=4.。。2,取N=5
1-1/6-5*7/60=1/4 需要3/4小時。則總時間為4*5+3/4=20又3/4
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2012年吉林公務(wù)員《行測》數(shù)學(xué)運(yùn)算題型講解(2)
抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理(“如果有五個鴿子籠,養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子,那么當(dāng)鴿子飛回籠中后,至少有一個籠子中裝有2只鴿子”)。它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題,因此,也稱為狄利克雷原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。
假設(shè)有3個蘋果放入2個抽屜中,則必然有一個抽屜中有2個蘋果,她的一般模型可以表述為:
第一抽屜原理:把(mn+1)個物體放入n個抽屜中,其中必有一個抽屜中至少有(m+1)個物體。
若把3個蘋果放入4個抽屜中,則必然有一個抽屜空著,她的一般模型可以表述為:
第二抽屜原理:把(mn-1)個物體放入n個抽屜中,其中必有一個抽屜中至多有(m—1)個物體。
制造抽屜是運(yùn)用原則的一大關(guān)鍵
例1、一副撲克牌有四種花色,每種花色各有13張,現(xiàn)在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌,才能保證有4張牌是同一種花色的?
A.12
B.13
C.15
D.16
【解析】根據(jù)抽屜原理,當(dāng)每次取出4張牌時,則至少可以保障每種花色一樣一張,按此類推,當(dāng)取出12張牌時,則至少可以保障每種花色一樣三張,所以當(dāng)抽取第13張牌時,無論是什么花色,都可以至少保障有4張牌是同一種花色,選B。
例2、從1、2、3、4……、12這12個自然數(shù)中,至少任選幾個,就可以保證其中一定包括兩個數(shù),他們的差是7?
A.7 B.10 C.9 D.8
【解析】在這12個自然數(shù)中,差是7的自然樹有以下5對:{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}。另外,還有2個不能配對的數(shù)是{6}{7}??蓸?gòu)造抽屜原理,共構(gòu)造了7個抽屜。只要有兩個數(shù)是取自同一個抽屜,那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為{12,5} {11,4}{10,3}{9,2}{8,1}{6}{7},顯然從7個抽屜中取8個數(shù),則一定可以使有兩個數(shù)字來源于同一個抽屜,也即作差為7,所以選擇D。
例3、有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒,裝在一只袋子里,為了保證摸出的珠子有兩粒顏色相同,應(yīng)至少摸出幾粒?()
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】這是一道典型的抽屜原理,只不過比上面舉的例子復(fù)雜一些,仔細(xì)分析其實并不難。解這種題時,要從最壞的情況考慮,所謂的最不利原則,假定摸出的前4粒都不同色,則再摸出的1粒(第5粒)一定可以保證可以和前面中的一粒同色。因此選C。
傳統(tǒng)的解抽屜原理的方法是找兩個關(guān)鍵詞,“保證”和“最少”。
保證:5??梢员WC始終有兩粒同色,如少于5粒(比如4粒),我們?nèi)〖t、黃、藍(lán)、白各一個,就不能“保證”,所以“保證”指的是要一定沒有意外。
最?。翰荒苋〈笥?的,如為6,那么5也能“保證”,就為5。
例4、從一副完整的撲克牌中至少抽出( )張牌.才能保證至少 6 張牌的花色相同。
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
解析:2+5*4+1=23
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2012年河南公務(wù)員《行測》數(shù)學(xué)運(yùn)算題型講解(3)
數(shù)學(xué)運(yùn)算主要考查應(yīng)試者解決算術(shù)問題的能力。在這種題型中,每道試題中呈現(xiàn)一道算術(shù)式子,或者是表述數(shù)字關(guān)系的一段文字,要求考生迅速、準(zhǔn)確地計算出答案。在解答此類試題時,關(guān)鍵在于找捷徑和簡便方法。由于運(yùn)算只涉及加、減、乘、除四則運(yùn)算,比較簡單,如果有足夠的時間給每一位考生的話,大家?guī)缀醵寄艽蚋叻稚踔潦菨M分。但公務(wù)員考試行測的一大特點就是題量大時間緊,在這種情況下,個體的差異就體現(xiàn)在運(yùn)算的速度與準(zhǔn)確性上,只有通過巧用計算方法提高運(yùn)算速度才能在考試中獲得優(yōu)勢。
數(shù)學(xué)運(yùn)算的簡便解題方法有很多,如數(shù)學(xué)公式運(yùn)算法、湊整計算法、基準(zhǔn)數(shù)法、提取公因式法等等,根據(jù)??嫉脑囶},還總結(jié)出一些專題,比如年齡問題、植樹問題、行程問題等等,每一類題也有各自不一樣的解法,我們會一一給大家講解,今天,我們主要來講一講年齡問題的解題方法。
求解年齡問題的關(guān)鍵是“年齡差不變”。
幾年前的年齡差和幾年后的年齡差是相等的,即變化前的年齡差=變化后的年齡差。解題時將年齡的其他關(guān)系代入上述等式即可求解。
已知兩個人或若干個人的年齡,求他們年齡之間的某種數(shù)量關(guān)系等等。年齡問題又往往是和倍、差倍、和差等問題的綜合。它有一定的難度,因此解題時需抓住其特點。
年齡問題的主要特點是:大小年齡差是個不變的量,而年齡的倍數(shù)卻年年不同。我們可以抓住差不變這個特點,再根據(jù)大小年齡之間的倍數(shù)關(guān)系與年齡之和等條件,解答這類應(yīng)用題。
解答年齡問題的一般方法是:
幾年后年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差-小年齡,
幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數(shù)差。
這里介紹幾道例題,幫助大家掌握年齡問題的解題方法:
【例題1】今年哥弟兩人的歲數(shù)加起來是55歲,曾經(jīng)有一年,哥哥的歲數(shù)是今年弟弟的歲數(shù),那時哥哥的素數(shù)恰好是弟弟的兩倍,問哥哥今年年齡是多大?( )
A.33 B.22 C.11 D.44
【答案及解析】A 設(shè)今年哥哥X歲,則今年弟弟是55-X歲,過去某年哥哥歲數(shù)是55-X歲,那是在X-(55-X)即2X-55年前,當(dāng)時弟弟歲數(shù)是(55-X)-(2X-55)即110-3X。列方程為 55-X=2(110-3X)
55-X=220-6X
6X- X=220-55
5X=165
X=33
【例題2】爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時,妹妹是9歲;當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時,爸爸34歲。現(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲?()
A.34 B.39 C.40 D.42
【答案及解析】C。
解法一:用代入法逐項代入驗證。解法二,利用“年齡差”是不變的,列方程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為:x、y和z。那么可得下列三元一次方程:x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]??汕蟮脁=40。
【例題3】1998年,甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年,甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?( )
A.34歲,12歲 B.32歲,8歲 C.36歲,12歲 D.34歲,10歲
【答案及解析】D。
這是一道年齡問題,最重要的是掌握“年齡差不變”這一知識點。
假設(shè)甲乙兩人2000年的年齡分別是x、y歲,那么1998年他們就分別是(x-2)歲、(y-2)歲,2002年分別是(x+2)歲、(y+2)歲,根據(jù)題意可以列方程:
(x+2)=(y+2)×3,
(x-2)=(y-2)×4,
得出:x=34,y=10
所以甲乙二人2000年的年齡分別是34歲和10歲。
【例題4】10年前田靶的年齡是她女兒的7倍,15年后田靶的年齡是她女兒的2倍,問女兒現(xiàn)在的年齡是多少歲?()
A.45 B.15 C.30 D.10
【答案及解析】B 15年后田靶的年齡是女兒的2倍,即兩人年齡的差等于女兒當(dāng)時的年齡,所以,兩人年齡的差等于女兒10年前的年齡加25。
10年前田靶年齡是女兒的7倍,所以兩人年齡的差等于女兒當(dāng)時年齡的6(=7-1)倍。
由于年齡的差是不變的,所以女兒10年前的年齡的5(=6-1)倍等于25,女兒當(dāng)時的年齡為:25/5=5(歲)。
現(xiàn)在為:5+10=15(歲)
故B項是正確選項
通過上面幾道例題,我們了解了年齡問題的基本特點,以及年齡問題的一些解題方法。
其實數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查點并非在于應(yīng)試者的知識積累,而在于應(yīng)試者的反應(yīng)速度及應(yīng)變能力。因此數(shù)學(xué)運(yùn)算的題目并非是要求應(yīng)試者用復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式來進(jìn)行運(yùn)算(盡管能最終算出結(jié)果),而是要求應(yīng)試者根據(jù)題目所給條件,巧妙運(yùn)用簡便的方法來進(jìn)行解答。今天給大家介紹了年齡問題的解題方法,這也是數(shù)學(xué)運(yùn)算中一種比較常見的題型,希望大家能掌握其中的要點,做到靈活運(yùn)用。其他的解題方法在以后我們還會一一介紹,建議大家在學(xué)習(xí)解題方法的同時,也要注意基礎(chǔ)知識的積累,多做練習(xí),把各種解題方法運(yùn)用得爐火純青。
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2012年吉林公務(wù)員《行測》數(shù)學(xué)運(yùn)算題型講解(4)
例:四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí),要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發(fā)球,并作為第一次傳球,若第五次傳球后,球又回到甲手中,則共有多少種傳球方式?
A.60種 B.65種 C.70種 D.75種
【解析一】五次傳球傳回甲,中間將經(jīng)過四個人,將其分為兩類:
第一類:傳球的過程中不經(jīng)過甲,甲→___→___→___→___→甲___→甲,共有方法3×2×2×2=24種
第二類:傳球的過程中經(jīng)過甲,
?、偌住鷂__→___→甲→___→甲,共有方法3×2×1×3=18種
?、诩住鷂__→甲→___→___→甲,共有方法3×1×3×2=18種
根據(jù)加法原理:共有不同的傳球方式24+18+18=60種
【解析二】注意到:N次傳球,所有可能的傳法總數(shù)為3(每次傳球有3種方法),第N次傳回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。
第N次傳球 | 傳球的方法 | 球在甲手中的傳球方法 | 球不在甲手中的傳球方 |
1 | 3 | 0 | 3 |
2 | 9 | 3 | 6 |
3 | 27 | 6 | 21 |
4 | 81 | 21 | 60 |
5 | 243 | 60 | 183 |
從表中可知,經(jīng)過5次傳球后,球仍回甲手的方法共有60種,故選A項。
【解析三】我們很容易算出來,四個人傳五次球一共有35=243種傳法,由于一共有4個人,所以平均傳給每一個人的傳法是243÷4=60.75,最接近的就是60,選擇A。
傳球問題核心注釋
這道傳球問題是一道非常復(fù)雜麻煩的排列組合問題?!窘馕鲆弧渴亲钪庇^、最容易理解的,但耗時耗力并且容易錯,稍微應(yīng)運(yùn)數(shù)字計算量可能陡增;【解析二】操作性強(qiáng),可以解決這種類型的種問題,但理解起來要求比較高,具體考場之上也比較耗時;【解析二】不免投機(jī)取巧,但最有效果(根據(jù)對稱性很容易判斷結(jié)果應(yīng)該是3的倍數(shù),如果答案只有一個3的倍數(shù),便能快速得到答案),也給了一個啟發(fā)—
傳球問題核心公式
N個人傳M次球,記X=(N-1)M/N,則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù),與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。大家牢記一條公式,可以解決此類至少三人傳球的所有問題。
比如說上例之中,X=(4-1)5、4=60.75,最接近的整數(shù)是61,第二接近的整數(shù)是60,所以傳回甲自己的方法數(shù)為60種,而傳給乙(或者丙、丁)的方法數(shù)為61。
題:某人去A、B、C、D、E五個城市旅游,第一天去A城市,第七天到E城市,如果他今天在某個城市,那么第二天肯定會離開這個城市去另外一個城市,那么他一共有多少種旅游行程安排的方式?
A.204 B.205 C.819 D.820
【答案】C。相當(dāng)于五個人傳六次球,根據(jù)“傳球問題核心公式”,X=(5-1)6/5=819.2,與之最接近的是819,第二接近的是820。因此若第七天回到A城市則有820種方法,去另外一個城市則有819種方法。
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