6.3流動阻力和能量損失

知識點(diǎn)一:實(shí)際流體流動的兩種流態(tài)

一、流動狀態(tài)實(shí)驗(yàn)—雷諾實(shí)驗(yàn)

層流（片流）：流體質(zhì)點(diǎn)不相互混雜，流體作有序的成層流動。

特點(diǎn)：（1）有序性。水流呈層狀流動，各層的質(zhì)點(diǎn)互不混摻，質(zhì)點(diǎn)作有序的直線運(yùn)動。

（2）粘性占主要作用，遵循牛頓內(nèi)摩擦定律。

紊流（湍流）：局部速度、壓力等力學(xué)量在時(shí)間和空間中發(fā)生不規(guī)則脈動的流體運(yùn)動。

特點(diǎn)：（1）無序性、隨機(jī)性、有旋性、混摻性。流體質(zhì)點(diǎn)不再成層流動，而是呈現(xiàn)不規(guī)則紊動，流層間質(zhì)點(diǎn)相互混摻，為無序的隨機(jī)運(yùn)動。

（2）紊流受粘性和紊動的共同作用。

雷諾實(shí)驗(yàn)：觀察流體不同位置的質(zhì)點(diǎn)的流動狀況的實(shí)驗(yàn)。

動畫：雷諾實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：流速較低時(shí)，流體作層流運(yùn)動；當(dāng)流速增高到一定值時(shí)，流體作紊流運(yùn)動。

上臨界流速：層流狀態(tài)改變?yōu)槲闪鳡顟B(tài)時(shí)的速度。

下臨界流速v_cr：紊流狀態(tài)改變?yōu)閷恿鳡顟B(tài)時(shí)的速度。

實(shí)驗(yàn)證明：v_cr＜＜

二、流動狀態(tài)與水頭損失的關(guān)系

在雷諾實(shí)驗(yàn)中，用測壓管測定兩點(diǎn)間的水頭損失h_f，并測定管中流體均速v，作出h_f－v的關(guān)系圖。

結(jié)論：v<v_cr時(shí)，層流，h_f與v的關(guān)系為oa直線；h_f＝k₁v

      v>時(shí)，紊流，h_f與v的關(guān)系為cd曲線；h_f＝k₂v^m，m＝1.75～2.0，v達(dá)到一定值后，m＝2保持不變—阻力平方區(qū)；

      v_cr<v<時(shí)，保持原有流態(tài)，h_f與v的關(guān)系也保持原樣。

三、流動狀態(tài)判別標(biāo)準(zhǔn)—雷諾數(shù)

流體流動的雷諾數(shù)        

式中：ν－流體運(yùn)動粘性系數(shù)；     d－管徑

臨界雷諾數(shù)       

下臨界雷諾數(shù)：紊流→層流時(shí)的臨界雷諾數(shù)，是流態(tài)的判別標(biāo)準(zhǔn)，它只取決于水流邊界的形狀，即水流的過水?dāng)嗝嫘螤睢?/span>

上臨界雷諾數(shù)：，層流→紊流時(shí)的臨界雷諾數(shù)，它易受外界干擾，數(shù)值不穩(wěn)定。

流態(tài)判別—－用下臨界雷諾數(shù)

圓管流   ， recr＝2320，則：

re<2320    層流

re>2320    紊流

實(shí)際工程中取recr＝2000， 則：

 re<2000    層流

 re>2000    紊流

當(dāng)過水?dāng)嗝鏋?span style='background:yellow'>非圓斷面時(shí)，用水力半徑r＝a/χ作為特征長度。

其臨界雷諾數(shù)recr＝500,則:

re<500    層流

re>500    紊流

明渠流:    取recr＝300， 則：    

re<300    層流

re>300    紊流

例：某段自來水管，d=100mm，v=1.0m/s。水溫10℃，（1）試判斷管中水流流態(tài)？（2）若要保持層流，最大流速是多少？

解:（1）水溫為10℃時(shí)，水的運(yùn)動粘度，由下式計(jì)算得：  

則：

  即：圓管中水流處在紊流狀態(tài)。

（2）

要保持層流，最大流速是2.62 cm/s。

知識點(diǎn)二:均勻流基本方程

一、均勻流動基本方程

達(dá)蘭貝爾原理：質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動的任意時(shí)刻，系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)的慣性力與作用于系統(tǒng)的外力構(gòu)成平衡力系。

             ———列動平衡方程時(shí)，不需考慮慣性力。

均勻流中取一流段l，則a₁=a₂=a，v₁=v₂=v  。

該流段所受作用力：

   （1）兩端面上流體壓力：p₁＝p₁a，p₂＝p₂a

   （2）流段本身重量：  g＝γal　  

在流向上的投影：gcosβ＝γalcosβ

   （3）流體與界壁間的摩擦力：t＝τ₀χl

動平衡方程： p₁－p₂＋gcosβ－t＝0

即：p₁a－p₂a＋γalcosβ－τ₀χl＝0

通除以γa，得：

即：     均勻流動基本方程

靜壓水頭差與摩擦阻力的關(guān)系

二、均勻流動中的水頭損失及其與摩擦阻力的關(guān)系

列1－1及2－2斷面的伯努利方程：

     即：

∴     均勻流動水頭損失的計(jì)算式

可得出：   或      計(jì)算均勻流動水頭損失的基本公式

式中：τ₀—流段表面單位面積上所受摩擦力；

      r—過水?dāng)嗝娴乃Π霃剑?/span>

      i－水力坡度。

三、流體在圓管中的層流運(yùn)動

1、均勻流動中內(nèi)摩擦力的分布規(guī)律

均勻流動水頭損失:

設(shè)過水?dāng)嗝孀畲蟀霃綖?/span>r₀，則水力半徑 r＝r₀/2，

則：

取半徑為r的圓柱形流段，設(shè)其表面切應(yīng)力為τ，則

∴   均勻流動中內(nèi)摩擦切應(yīng)力的分布規(guī)律

物理意義：圓管均勻流的過水?dāng)嗝嫔希袘?yīng)力呈直線分布，管壁處切應(yīng)力為最大值τ₀，管軸處切應(yīng)力為零。

2、圓管層流中速度的分布規(guī)律

由   得

牛頓內(nèi)摩擦定律  ,對圓管中流體,則有

∴      即 

積分得：

管壁處r=r₀，u=0，得

∴    斯托克斯公式

物理意義： 圓管層流過水?dāng)嗝嫔狭魉俜植汲市D(zhuǎn)拋物面分布。

最大流速在管軸上（r=0）：

3、圓管層流中的平均速度和流量

平均速度         

將  及 da＝2πrdr 代入，并積分得：

     圓管層流中平均速度

v與u_max比較，可得：v=0.5 u_max

即圓管層流的平均流速是最大流速的一半。

流量

亥根（哈根）－泊肅葉(poiseuille，法國)定律：圓管層流運(yùn)動，流量與管徑的四次方成正比。

4、圓管層流中的沿程損失

由圓管平均速度公式  得：

又由 得：  

   式中： ，為常量。

以速度水頭的形式表示h_f，則：

  

或             達(dá)西公式

式中： 圓管層流的沿程阻力系數(shù)（摩阻系數(shù)），僅由re確定。

物理意義：圓管層流中，沿程水頭損失與斷面平均流速的一次方成正比，而與管壁粗糙度無關(guān)。

適用范圍：只適用于均勻流情況，在管路進(jìn)口附近無效。

重度為γ、流量為q的流體，在長度為l的圓管中以層流狀態(tài)運(yùn)動時(shí)，所消耗的功率為：

知識點(diǎn)三：流體在圓管中的紊流運(yùn)動

一、運(yùn)動要素脈動和時(shí)均化的概念

時(shí)間平均速度：流體質(zhì)點(diǎn)在某一確定方向（x軸向）的瞬時(shí)速度u_x始終圍繞著某一平均值而不斷跳動（即脈動），這一平均值就稱作時(shí)間平均速度—時(shí)均速度。

    即：瞬時(shí)速度u_x對時(shí)間t的平均值。

物理意義：以時(shí)均速度通過單位面積的流量等于以真實(shí)流速u_x通過該面積的流量。

紊流中所有運(yùn)動要素均進(jìn)行時(shí)均化處理，紊流→準(zhǔn)定常流。

∴ 定常流理論可用于分析紊流運(yùn)動。

二、紊流運(yùn)動中的摩擦阻力

紊流液體質(zhì)點(diǎn)的脈動導(dǎo)致了質(zhì)量交換，形成了動量交換和質(zhì)點(diǎn)混摻，從而在液層交界面上產(chǎn)生了紊流附加切應(yīng)力。

相鄰兩層流體間，產(chǎn)生了動量交換。根據(jù)動量定理：動量交換值等于摩擦力的沖量。

紊流運(yùn)動中，內(nèi)摩擦阻力包括兩部分：牛頓內(nèi)摩擦阻力（粘性切應(yīng)力）τ₁、附加切應(yīng)力τ₂

   

三、紊流運(yùn)動中的速度分布

根據(jù)普朗特理論，圓管中：l=ky，式中：k—實(shí)驗(yàn)常數(shù)；y—流體層到管壁的距離。

∴

得：     命—切應(yīng)力速度。

則：

積分得：

結(jié)論：紊流運(yùn)動中，速度按對數(shù)規(guī)律分布。

 

另外，普郎特—卡門根據(jù)實(shí)驗(yàn)資料得出了圓管紊流流速分布的指數(shù)公式：

m＝1/4～1/10

四、沿程阻力系數(shù)λ值的確定

沿程損失 

均勻?qū)恿髦笑耍?span lang=en-us>64/re，均勻紊流中，λ＝f（re，△/r）

圓管均勻紊流中：尼古拉茨實(shí)驗(yàn)圖

第1區(qū)——層流區(qū)，λ=f(re)，λ=64/re。

第2區(qū)——層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯倪^渡區(qū)，2320<re<4000(3.37<lgre<3.60)，λ=f(re)。范圍很小，意義不大。

第3區(qū)——水力光滑管區(qū)，紊流狀態(tài)，4000<re<26.98(d/△)^8/7。λ=f(re)。

4000<re<100000時(shí)：可用布拉休斯公式；

10⁵<re<10⁶時(shí)：可用尼古拉茨公式λ=0.0032＋0.221re^-0.237

也可按卡門—普朗特公式計(jì)算：

第4區(qū)——由“光滑管區(qū)”轉(zhuǎn)向“粗糙管區(qū)”的紊流過渡區(qū)，。

闊爾布魯克－懷特半經(jīng)驗(yàn)公式：

第5區(qū)——水力粗糙管區(qū)，λ=f(δ/d)。水流處于發(fā)展完全的紊流狀態(tài)，水流阻力與流速的平方成正比，故又稱阻力平方區(qū)。

按闊爾布魯克－懷特公式：

常用管材的管壁粗糙度△值，見附錄表7、8。

莫迪圖——λ與re及δ/d的關(guān)系圖：

知識點(diǎn)四： 粘性流體的不均勻流動

一、管徑突然擴(kuò)大處的局部損失

流道突然擴(kuò)大, 下游壓強(qiáng)上升, 流體在逆壓強(qiáng)梯度下流動, 極易產(chǎn)生旋渦，從而產(chǎn)生阻力損失。

根據(jù)動量方程：p₁a₁-p₂a₂+p(a₂-a₁)=ρq(v₂-v₁)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)，p＝p₁，

則：（p₁-p₂）a₂＝ρa(bǔ)₂v₂ (v₂-v₁)

∴ p₁-p₂＝ρv₂ (v₂-v₁)

列出過水?dāng)嗝?span lang=en-us>1－1、2－2的伯努利方程：

由于z₁=z₂，得：

即：

整理得：

即管徑突然擴(kuò)大產(chǎn)生的局部損失按照連續(xù)性方程v₁a₁=v₂a₂，則：

或

式中：ξ₁、ξ₂—局部阻力系數(shù)，隨比值a₁/a₂不同而變。

二、其它類型的局部損失

以管徑突然擴(kuò)大的水頭損失計(jì)算公式，作為通用的計(jì)算公式：，對不同局部位置，取不同的局部阻力系數(shù)ξ。

1、管徑突然收縮

流道突然縮小時(shí),流體在順壓強(qiáng)梯度下流動,在收縮部分不發(fā)生明顯的阻力損失。但流體有慣性, 流道將繼續(xù)收縮至a-a面, 然后流道重又?jǐn)U大。這時(shí), 流體轉(zhuǎn)而在逆壓強(qiáng)梯度下流動, 也就產(chǎn)生旋渦?？梢?span lang=en-us>, 突然縮小造成的阻力主要還在于突然擴(kuò)大。

2、逐漸擴(kuò)大管

相同a₂/a₁＝4時(shí)，突然擴(kuò)大管ξ＝9.0

a₂/a₁＝4，α＝25°時(shí)：

設(shè)定λ＝0.03，則ξ＝0.5

逐漸擴(kuò)大管比突然擴(kuò)大管損失減少。

隨α增大，ξ增大。

3、逐漸收縮管

   

直線直接收縮管：，ξ與a₂/a₁、α、λ有關(guān)

曲線逐漸收縮管：ξ＝0.06～0.005

4、彎頭

折角彎頭：

ξ隨α增大而增大——管道拐彎越急，損失越大。