第三章測(cè)量數(shù)據(jù)處理

重點(diǎn)：

1）測(cè)量誤差的處理；

2）測(cè)量不確定度的評(píng)定與表示以及測(cè)量結(jié)果的報(bào)告。

難點(diǎn)：

1）減小系統(tǒng)誤差的方法；

2）實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算；

3）異常值的判別和剔除；

4）測(cè)量重復(fù)性和測(cè)量復(fù)現(xiàn)性的評(píng)定；

5）計(jì)量器具計(jì)量特性的評(píng)定；

6) 統(tǒng)計(jì)技術(shù)的應(yīng)用，評(píng)定測(cè)量不確定度的步驟和方法;

7) 數(shù)據(jù)的有效位數(shù)和修約規(guī)定。

 

第一節(jié)測(cè)量誤差的處理

知識(shí)點(diǎn)：誤差的一般分類

1. 系統(tǒng)誤差（可定誤差）

系統(tǒng)誤差的特性

重復(fù)出現(xiàn)、恒定不變（一定條件下）、單向性、大小可測(cè)出并校正，故有稱為可定誤差?？梢杂脤?duì)照試驗(yàn)、空白試驗(yàn)、校正儀器等辦法加以校正。

2. 隨機(jī)誤差（不可定誤差）

產(chǎn)生原因與系統(tǒng)誤差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。

 

例如：

測(cè)定時(shí)環(huán)境的溫度、濕度和氣壓的微小波動(dòng)，以其性能的微小變化等。

隨機(jī)誤差的特性：有時(shí)正、有時(shí)負(fù)，有時(shí)大、有時(shí)小，難控制（方向大小不固定，似無(wú)規(guī)律）；但在消除系統(tǒng)誤差后，在同樣條件下進(jìn)行多次測(cè)定，則可發(fā)現(xiàn)其分布也是服從一定規(guī)律（統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布），可用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法來(lái)處理

3．一般規(guī)律認(rèn)識(shí)

系統(tǒng)誤差——可檢定和校正

隨即誤差——可控制

只有校正了系統(tǒng)誤差和控制了偶然誤差，測(cè)定結(jié)果才可靠。

知識(shí)點(diǎn)二：系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和減小系統(tǒng)誤差的方法

系統(tǒng)誤差可能由儀器誤差、裝置誤差、人為誤差、外界誤差及方法誤差引起，因此要發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差是哪種誤差引起的不太容易，而要完全消除系統(tǒng)誤差則是更加困難的。

（一）系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

　  (1)在規(guī)定的測(cè)量條件下多次測(cè)量同一個(gè)被測(cè)量，從所得測(cè)量結(jié)果與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的量值之差可以發(fā)現(xiàn)并得到恒定的系統(tǒng)誤差的估計(jì)值。

　  (2)在測(cè)量條件改變時(shí)，例如隨時(shí)間、溫度、頻率等條件改變時(shí)，測(cè)量結(jié)果按某一確定的規(guī)律變化，可能是線性地或非線性地增長(zhǎng)或減小，就可以發(fā)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果中存在可變的系統(tǒng)誤差。

(二)減小系統(tǒng)誤差的方法

要完全消除系統(tǒng)誤差比較困難，但降低系統(tǒng)誤差則是可能的。

降低系統(tǒng)誤差的首選方法是用標(biāo)準(zhǔn)件校準(zhǔn)儀器，作出校正曲線；最好是請(qǐng)計(jì)量部門或儀器制造廠家校準(zhǔn)儀器；其次是實(shí)驗(yàn)時(shí)正確地使用儀器，如調(diào)準(zhǔn)儀器的零點(diǎn)、選擇適當(dāng)?shù)牧砍?、正確地進(jìn)行操作等。

通常，消除或減小系統(tǒng)誤差有以下幾種方法：

1.采用修正的方法

　　對(duì)系統(tǒng)誤差的已知部分，用對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正的方法來(lái)減小系統(tǒng)誤差。

 

例如：

測(cè)量結(jié)果為300c，用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的結(jié)果是30.10c，則已知系統(tǒng)誤差的估計(jì)值為-0.10c，也就是修正值為+0.10c；

依據(jù)：

已修正測(cè)量結(jié)果=未修正測(cè)量結(jié)果+修正值

已修正測(cè)量結(jié)果為=300c +0.10c=30.10c。

 

2.在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中盡可能減少或消除一切產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素

　　例如：

在試驗(yàn)或檢測(cè)儀器使用時(shí)，如果應(yīng)該對(duì)中的未能對(duì)中，應(yīng)該調(diào)整到水平、垂直或平行理想狀態(tài)的未能調(diào)好，都會(huì)帶來(lái)測(cè)量的系統(tǒng)誤差，操作者應(yīng)仔細(xì)調(diào)整，以便減小誤差。

又如在對(duì)模擬式儀表讀數(shù)時(shí)，由于測(cè)量人員每個(gè)人的習(xí)慣不同會(huì)導(dǎo)致讀數(shù)誤差，采用了數(shù)字顯示儀器后就消除了人為讀數(shù)誤差。

3.選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法，使系統(tǒng)誤差抵消而不致帶入測(cè)量結(jié)果中的誤差符號(hào)相反。

試驗(yàn)和測(cè)量中常用的幾種方法：

　　(1)恒定系統(tǒng)誤差消除法

　　①異號(hào)法

　　改變測(cè)量中的某些條件，例如測(cè)量方向、電壓極性等，使兩種條件下的測(cè)量結(jié)果中的誤差符號(hào)相反，取其平均值以消除系統(tǒng)誤差。

【案例】帶有螺桿式讀數(shù)裝置的測(cè)量?jī)x存在空行程，即螺旋旋轉(zhuǎn)時(shí)，刻度變化而量桿不動(dòng)，引起測(cè)量的系統(tǒng)誤差。為消除這一系統(tǒng)誤差，可從兩個(gè)方向?qū)€。

第一次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)準(zhǔn)刻度讀數(shù)為d，設(shè)不含系統(tǒng)誤差的值為a，空行程引起的恒定系統(tǒng)誤差為ε，則d=a+ε；

第二次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)準(zhǔn)刻度讀數(shù)為d′，此時(shí)空行程引起的恒定系統(tǒng)誤差為-e，即

d′= a一e。

于是取平均值就可以得到消除了系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果：a=d+d′/2。

　　

②交換法

　　將測(cè)量中的某些條件適當(dāng)交換，例如被測(cè)物的位置相互交換，設(shè)法使兩次測(cè)量中的誤差源對(duì)測(cè)結(jié)果的作用相反，從而抵消了系統(tǒng)誤差。

例如：

用等臂天平稱重，第一次在右邊秤盤中放置被測(cè)物x，在左邊秤盤中放置砝碼p，使天平平衡，這時(shí)被測(cè)物的質(zhì)量為x=pll/l2，當(dāng)兩臂相等(ll=l2)時(shí)x=p；如果兩臂存在微小的差異(ll≠l2)，而仍以x=p為測(cè)量結(jié)果，就會(huì)使測(cè)量結(jié)果中存在系統(tǒng)誤差。為了抵消這一系統(tǒng)誤差，可以將被測(cè)物與砝碼互換位置，此時(shí)天平不會(huì)平衡，改變砝碼質(zhì)量到p′時(shí)天平平衡，則這時(shí)被測(cè)物的質(zhì)量為x=p′l2/l1。所以可以用位置交換前后的兩次測(cè)得值的幾何平均值得到消除了系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果

x=（p p′）1/2

 

③替代法

　　保持測(cè)量條件不變，用某一已知量值的標(biāo)準(zhǔn)器替代被測(cè)件再作測(cè)量，使指示儀器的指示不變或指零，這時(shí)被測(cè)量等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量，達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的。

【案例1】用精密電橋測(cè)量某個(gè)電阻器時(shí)，先將被測(cè)電阻器接入電橋的一臂，使電橋平衡；然后用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)電阻箱代替被測(cè)電阻器接入，調(diào)節(jié)電阻箱的電阻，使電橋再次平衡。則此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電阻箱的電阻值就是被測(cè)電阻器的電阻值。可以消除電橋其他三個(gè)臂的不理想等因素引入的系統(tǒng)誤差。

【案例2】采用高頻替代法校準(zhǔn)微波衰減器，其測(cè)量原理圖如圖3-1所示。

 

 

 


圖3-1高頻替代法校準(zhǔn)微波衰減器測(cè)量原理圖

當(dāng)被校衰減器衰減刻度從al改變到a2時(shí)，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)衰減器從asl到as2，使接收機(jī)指示保持不變，則被校衰減器的衰減變化量al一a2=ax等于標(biāo)準(zhǔn)衰減器的衰減變化量as=as2一asl，，可以使微波信號(hào)源和測(cè)量接收機(jī)在校準(zhǔn)中不引入系統(tǒng)誤差。

 

(2)可變系統(tǒng)誤差消除法

　合理地設(shè)計(jì)測(cè)量順序可以消除測(cè)量系統(tǒng)的線性漂移或周期性變化引入的系統(tǒng)誤差。

① 對(duì)稱測(cè)量法消除線性系統(tǒng)誤差

 

　【案例1】用電壓表作指示，測(cè)量被檢電壓源與標(biāo)準(zhǔn)電壓源的輸出電壓之差，由于電壓表零位存在線性漂移(如圖3-2所示)，會(huì)使測(cè)量引入可變的系統(tǒng)誤差。

此時(shí)可以采用下列測(cè)量步驟來(lái)消除這種系統(tǒng)誤差：

順序測(cè)量4次，在t1時(shí)刻從電壓表上讀得標(biāo)準(zhǔn)電壓源的電壓測(cè)量值a，在t2時(shí)刻從電壓表上讀得被檢電壓源的電壓測(cè)量值x，在t3時(shí)刻從電壓表上再讀得被檢電壓源的電壓測(cè)量值x′，在t4時(shí)刻再讀得標(biāo)準(zhǔn)電壓源的電壓測(cè)量值況a′。

 

 

 

 

 

 

 

 


圖3-2對(duì)稱測(cè)量法

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓源和被檢電壓源的電壓分別為vs和vx，系統(tǒng)誤差用ε表示，則

t1時(shí)：a=vs十ε1，

t2時(shí)：x=vx十ε2

t3時(shí)：x＇=vx十ε3

t4時(shí)：a＇=vs十ε4

測(cè)量時(shí)只要滿足t2一t1= t4一t3，當(dāng)線性漂移條件滿足時(shí)，則有：ε2—ε1=ε4—ε3

于是有：

vx—vs =(x+ x＇)/2—(a+ a＇)/2　，

由上式得到的被檢電壓源與標(biāo)準(zhǔn)電壓源的輸出電壓之差測(cè)量結(jié)果中消除了由于電壓表線性漂移引入的系統(tǒng)誤差。

【案例2】用質(zhì)量比較儀作指示儀表，用f2級(jí)標(biāo)準(zhǔn)砝碼替代被校砝碼的方法校準(zhǔn)標(biāo)稱值為10kg的ml級(jí)砝碼，為消除由質(zhì)量比較儀漂移引入的可變系統(tǒng)誤差，砝碼的替代方案采用按“標(biāo)準(zhǔn)～被校～被?！珮?biāo)準(zhǔn)”順序進(jìn)行。

測(cè)量數(shù)據(jù)如下：第一次加標(biāo)準(zhǔn)砝碼時(shí)讀數(shù)為ms1=+0.010g，接著加被校砝碼，讀數(shù)為mx1=+0.020g；再第二次加被校砝碼，讀數(shù)為mx2=0.025g，再第二次加標(biāo)準(zhǔn)砝碼，讀數(shù)為ms2=+0.0l5g。則被校砝碼與標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量差

δm由下式計(jì)算得到：

δm=( mx1+ mx2)/2一(ms1+ ms1)/2=(0.045g一0.025g)/2=+0.01g，

由此獲得被校砝碼的修正值為一0.01g。

②半周期偶數(shù)測(cè)量法消除周期性系統(tǒng)誤差

——這種方法廣泛用于測(cè)角儀上。

　周期性系統(tǒng)誤差通?？梢员硎緸椋?/span>

ε=asin2πl/t

式中：t——誤差變化的周期；

l——決定周期性系統(tǒng)誤差的自變量(如時(shí)間、角度等)。

　　由公式可知，因?yàn)?span style='color:red'>相隔t/2半周期的兩個(gè)測(cè)量結(jié)果中的誤差是大小相等符號(hào)相反的。

——所以凡相隔半周期的一對(duì)測(cè)量值的均值中不再含有此項(xiàng)系統(tǒng)誤差。

(三)修正系統(tǒng)誤差的方法

1.在測(cè)量結(jié)果上加修正值

　　——修正值的大小等于系統(tǒng)誤差估計(jì)值的大小，但符號(hào)相反。

——當(dāng)測(cè)量結(jié)果與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值比較時(shí)，測(cè)量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值的差值為測(cè)量結(jié)果系統(tǒng)誤差估計(jì)值。

　　　　　　　　δ=—xs

式中：

δ——測(cè)量結(jié)果的系統(tǒng)誤差估計(jì)值；

　　——未修正的測(cè)量結(jié)果；

xs——標(biāo)準(zhǔn)值。

 

 

　注意的是：當(dāng)對(duì)測(cè)量?jī)x器的示值進(jìn)行修正時(shí)，δ為儀器的示值誤差

　　　　　　　　δ=x—xs

式中：

x——被評(píng)定的儀器的示值或標(biāo)稱值；

　　xs——標(biāo)準(zhǔn)裝置給出的標(biāo)準(zhǔn)值。

則修正值c為

　　　　　　　　c= －δ　　

已修正的測(cè)量結(jié)果xc為

　　　　　　　　x c=  +c

 

　【案例】用電阻標(biāo)準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)一個(gè)標(biāo)稱值為1ω的標(biāo)準(zhǔn)電阻時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)裝置的讀數(shù)為1.0003ω。問(wèn)：該被校標(biāo)準(zhǔn)電阻的系統(tǒng)誤差估計(jì)值、修正值、已修正的校準(zhǔn)結(jié)果分別為多少?

　　【案例分析】

系統(tǒng)誤差估計(jì)值=示值誤差

=1ω－1.0003ω

=－0.0003ω

依據(jù)修正值的大小等于系統(tǒng)誤差估計(jì)值的大小，但符號(hào)相反，則

示值的修正值= +0.0003ω

　　　　　　　巳修正的校準(zhǔn)結(jié)果=1ω+0.0003ω

=1.0003ω

 

2.對(duì)測(cè)量結(jié)果乘修正因子

修正因子cr等于標(biāo)準(zhǔn)值與未修正測(cè)量結(jié)果之比

cr=xs/

已修正的測(cè)量結(jié)果xc為

xc=cr

 

3.畫(huà)修正曲線

　　當(dāng)測(cè)量結(jié)果的修正值隨某個(gè)影響量的變化而變化，這種影響量例如溫度、頻率、時(shí)間、長(zhǎng)度等，那么應(yīng)該將在影響量取不同值時(shí)的修正值畫(huà)出修正曲線，以便在使用時(shí)可以查曲線得到所需的修正值。例如電阻的溫度修正曲線的示意圖如圖3-3所示。

實(shí)際畫(huà)圖時(shí)，通常要采用最小二乘法將各數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成最佳曲線或直線。

 

 

 

 

 

 

 


圖3-3電阻溫度修正曲線

 

 

4.制定修正值表

　　當(dāng)測(cè)量結(jié)果同時(shí)隨幾個(gè)影響量的變化而變化時(shí)，或者當(dāng)修正數(shù)據(jù)非常多且函數(shù)關(guān)系不清楚等情況下，最方便的方法是將修正值制定成表格，以便在使用時(shí)可以查表得到所需的修正值。表格形式舉例如表3-1所示。

　　　　　　　　　　　　　　表3-1電阻的頻率和溫度修正值表ω

溫度/0c

頻率/hz

20

30

40

50

60

10

 

 

 

 

 

200

 

 

 

 

 

　

提示注意的是：

　  (1)修正值或修正因子的獲得，最常用的方法是將測(cè)量結(jié)果與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)值比較得到，也就是通過(guò)校準(zhǔn)得到。修正曲線往往還需要采用實(shí)驗(yàn)方法獲得。

　 (2)修正值和修正因子都是有不確定度的。在獲得修正值或修正因子時(shí)，需要評(píng)定這些值

的不確定度。

(3)使用已修正測(cè)量結(jié)果時(shí)，該測(cè)量結(jié)果的不確定度中應(yīng)該考慮由于修正不完善引入的不確定度分量。

 

知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)方法

　　——隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差是指“測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差”。它是在重復(fù)測(cè)量中按不可預(yù)見(jiàn)的方式變化的測(cè)量誤差的分量。

由于實(shí)際工作中不可能測(cè)量無(wú)窮多次，因此不能得到隨機(jī)誤差的值。

隨機(jī)誤差的大小程度反映了測(cè)量值的分散性，即測(cè)量的重復(fù)性。

　——實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差

重復(fù)性是用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征的。

用有限次測(cè)量的數(shù)據(jù)得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，用符號(hào)s表示。

實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是表征測(cè)量值分散性的量。

當(dāng)用多次測(cè)量的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，測(cè)量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是測(cè)量值實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍(n為測(cè)量次數(shù))。因此可以說(shuō)，當(dāng)重復(fù)性較差時(shí)可以增加測(cè)量次數(shù)取算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，來(lái)減小測(cè)量的隨機(jī)誤差。

(一)幾種常用的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)方法

在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量x作n次重復(fù)測(cè)量，每次測(cè)得值為xi，測(cè)量次數(shù)為n，則實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差可按以下幾種方法估計(jì)。

1.  貝塞爾公式法

     ——適合于測(cè)量次數(shù)較多的情況

從有限次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一系列測(cè)量值代入式（3—6）得到估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差（用樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差s來(lái)衡量分析數(shù)據(jù)的分散程度）。

          （3—6）

式中（n-1）為自由度，它說(shuō)明在n次測(cè)定中，只有（n—1）個(gè)可變偏差，引入（n—1），主要是為了校正以樣本平均值代替總體平均值所引起的誤差。

式中：——n次測(cè)量的算術(shù)平均值，

　　　　         vi——第i次測(cè)量的測(cè)得值；

vi=xi———?dú)埐?/span>

               v=n—1——自由度

　　             s(x)——(測(cè)量值x的)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

 

【案例】對(duì)某被測(cè)件的長(zhǎng)度重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：10.0006m， 10. 0004m，

10.0008m，l0.0002m，10.0003m，l0.0005m，l0.0005m，l0.0007m，l0.0004m，l0.0006m用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測(cè)量的重復(fù)性，請(qǐng)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

　　【案例分析】

　　n=10，計(jì)算步驟如下：

(1)計(jì)算算術(shù)平均值：

=10m+(0.0006+0.0004+0.0008+0.0002+0.0003+0.0005+0.0005+0.0007+0.0004+0.0006)m/10=10.0005m

(2)計(jì)算10個(gè)殘差：

+0.0001，－0.0001，+0.0003，-0.0003，－0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，－0.0001，+0.0001

(3)計(jì)算殘差平方和：

(4)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差

所以實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)=0.00015m=0.0002m(自由度為n－1=9)。

2.極差法

一般在測(cè)量次數(shù)較小時(shí)采用該法。

從有限次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一系列測(cè)量值中找出最大值xmax最小值工xmin，得到極差r=xmax—xmin，根據(jù)測(cè)量次數(shù)n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

　　　　　　　　　　

s(x)=( xmax—xmin)/c                        (3-8)

 

式中：

c——極差系數(shù)。

　極差法的c值列于表3-3。

　　　　　　　　　　　　表3-3極差法的c值表

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

cn

1.13

1.64

2.06

2.33

2.53

2.70

2.85

2.97

3.08

3.47

3.74

【案例】對(duì)某被測(cè)件進(jìn)行了4次測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)為：0.02g，0.05g，0.04g，0.06g。請(qǐng)用極差法估算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

　【案例分析】

　計(jì)算步驟如下：

　　(1)計(jì)算極差：r=xmax－xmin=0.06g－0.02g=0.04g

　  (2)查表3-3得c值：n=4，c=2.06；

　  (3)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：s(x)=( xmax—xmin)/c =0.04g/2.06=0.02g。

 

3.較差法　

——適用于頻率穩(wěn)定度測(cè)量或天文觀測(cè)等領(lǐng)域。

從有限次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一列測(cè)量值中，將每次測(cè)量值與后一次測(cè)量值比較得到差值，代入下值得到估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

(二)各種估計(jì)方法的比較

　　貝塞爾公式法是一種基本的方法，但n很小時(shí)其估計(jì)的不確定度較大，例如n=9時(shí)，由這種方法獲得的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為25%，而n=3時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度達(dá)50%，因此它適合于測(cè)量次數(shù)較多的情況。

　極差法和最大殘差法使用起來(lái)比較簡(jiǎn)便，但當(dāng)數(shù)據(jù)的概率分布偏離正態(tài)分布較大時(shí)，應(yīng)當(dāng)以貝塞爾公式法的結(jié)果為準(zhǔn)。在測(cè)量次數(shù)較少時(shí)常采用極差法。

較差法更適用于隨機(jī)過(guò)程的方差分析，如適用于頻率穩(wěn)定度測(cè)量或天文觀測(cè)等領(lǐng)域。

知識(shí)點(diǎn)四：算術(shù)平均值及其實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

　(一)算術(shù)平均值的計(jì)算

　　在相同條件下對(duì)被測(cè)量x進(jìn)行有限次重復(fù)測(cè)量，得到一系列測(cè)量值x1， x2， x3，，，，，xn，平均值為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

  (二)算術(shù)平均值實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

若測(cè)量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為 s(x) ，則算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為

　　　　　　　　　　　　　

有限次測(cè)量的算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差與成反比。測(cè)量次數(shù)增加，減小，即算術(shù)平均值的分散性減小。

增加測(cè)量次數(shù)，用多次測(cè)量的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，可以減小隨機(jī)誤差，或者說(shuō)，減小由于各種隨機(jī)影響引入的不確定度。

但隨測(cè)量次數(shù)的進(jìn)一步增加，算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差減小的程度減弱，相反會(huì)增加人力、時(shí)間和儀器磨損等問(wèn)題，所以一般取n=3~20。

【案例】某計(jì)量人員在建立計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，對(duì)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行過(guò)重復(fù)性評(píng)定，對(duì)被測(cè)件重復(fù)測(cè)量10次，按貝塞爾公式計(jì)算出實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)=0.08v?，F(xiàn)在，在相同條件下對(duì)同一被測(cè)件測(cè)量4次，取4次測(cè)量的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值，他認(rèn)為算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為s(x)的1/4，即s(x)=0.08v/4=0.02v。

【案例分析】計(jì)量人員應(yīng)搞清楚算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差與測(cè)量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差有

什么關(guān)系?依據(jù)jjf1059——1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》和國(guó)家計(jì)量技術(shù)法規(guī)統(tǒng)一宣貫教材《測(cè)量不確定度理解、評(píng)定與應(yīng)用》，案例中的計(jì)算是錯(cuò)誤的。

按貝塞爾公式計(jì)算出實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s（x）=0.08v是測(cè)量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，它表明測(cè)量值的分散性。多次測(cè)量取平均可以減小分散性，算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是測(cè)量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的。

所以算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)該為：