知識(shí)點(diǎn)三  向量

 

向量是特殊的矩陣，故向量的運(yùn)算符合矩陣運(yùn)算性質(zhì)

向量的線性組合與線性表示

線性無關(guān)與線性相關(guān)

 

1)包含零向量的向量組必線性相關(guān)。

2)一個(gè)向量組中如果有部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。

3)一個(gè)線性無關(guān)的向量組，其中任何部分向量組都線性無關(guān)。

4)一個(gè)線性相關(guān)的向量組，如呆每一個(gè)向量都刪去同一序號(hào)的分量，得到一個(gè)維數(shù)較低的向量組，則新的向量組也線性相關(guān)。

5)一個(gè)線性無關(guān)的向量組，如果每一個(gè)向量在同一位置增加分量，得到維數(shù)更高的向量組，則新向量組也線性無關(guān)。

 

定義：向量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩。

只含零向量的向量組的秩規(guī)定為0。

 

設(shè)a是m×n矩陣，將矩陣的每個(gè)行看作行向量，

矩陣的m個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩。

將矩陣的每個(gè)列看作列向量，矩陣的n個(gè)列向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩。

定理：矩陣的行秩=矩陣的列秩=矩陣的秩。

知識(shí)點(diǎn)四  線性方程組

1．線性方程組的概念

n元線性方程組

 

 

3．高斯消元法

解方程組的最基本的方法是高斯消元法。設(shè)n元線性方程組

所謂高斯消元法就是對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行矩陣的初等行變換，化作行階梯形。

 

齊次線性方程組

 

 

(2)齊次線性方程組的解的性質(zhì)與齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

 

 

 

(2)非齊次線性方程組的解的性質(zhì)與非齊次線性方程組的解的構(gòu)造

 

知識(shí)點(diǎn)五  矩陣的特征值與特征向量

  

 

 

 

 

方陣的相似是矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系，他們有

1)反身性：每個(gè)方陣都和自己相似。

2)對(duì)稱性：若a和b相似，則b和a也相似。

3)傳遞性：若a和b相似，b和c相似，則a和c也相似。

相似的矩陣還有許多非常有用的性質(zhì)，如相似矩陣有相同的秩，相同的特征多項(xiàng)式，相同的特征值，相同的跡，相同的行列式，等。

3．方陣的相似對(duì)角化

定理：n階矩陣a可與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是a有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

定理：若n階矩陣a有n個(gè)互不相等的特征值，則a必可相似對(duì)角化。

 

4．實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

定理：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)。

定理：實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)不同特征值的特征向量正交。

定理：實(shí)對(duì)稱矩陣一定和對(duì)角矩陣相似。

實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化有兩種形式。它既可以和對(duì)角矩陣相似，也可以和對(duì)角矩陣既相似同時(shí)還合同。就是說，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣a，總存在可逆矩陣p，使它和對(duì)角矩陣d相似：

 

或存在正交矩陣q，使它和對(duì)角矩陣 既相似又合同，

 

 

 

知識(shí)點(diǎn)六  二次型

3)矩陣表達(dá)式

2．矩陣的合同

合同有以下三個(gè)性質(zhì)：

1)自反性：任意方陣a和自身合同。

2)對(duì)稱性：若方陣b和a合同，則a和b也合同。

3)專遞性：若方陣b和a合同，方陣c和b合同，則c和a合同。

合同作為n階方陣之間的關(guān)系，是一種等價(jià)關(guān)系。

3．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

定義：形如

的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法有正交變換法和配方法。其中正交變換法只能用于實(shí)二次型，不能用于復(fù)二次型。配方法可以用在實(shí)二次型，也可以用在復(fù)二次型。配方法實(shí)際上就是初等代數(shù)里的配平方。

用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算步驟：

1)寫出二次型的矩陣a 。

2)求得矩陣a的特征值

3)求相應(yīng)的特征向量。

4)將特征向量作施密特正交化，得到正交的特征向量。

5)將正交的特征向量單位化。

4．實(shí)二次型的慣性定理

定義：形如 

的二次型叫實(shí)二次型的規(guī)范形。

慣性定理：任意一個(gè)實(shí)系數(shù)二次型總可經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換，化成規(guī)范形，規(guī)范形是惟一的。其中r是二次型的秩，p是二次型的正慣性指數(shù)，r -p是負(fù)慣性指數(shù)，2p-r是符號(hào)差。

在實(shí)二次型中，秩r和正慣性指數(shù)p是兩個(gè)重要的不變量。秩r表示二次型通過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)非零平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)，正慣性指數(shù)表示在這些非零平方項(xiàng)中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，但是標(biāo)準(zhǔn)形中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)以及其中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)卻是唯一確定的。

5．實(shí)二次型的正定性

 

4)實(shí)對(duì)稱陣a正定 a的所有特征值全是正數(shù)

 

則稱i階行列式

為矩陣a的i階順序主子式。

5)實(shí)對(duì)稱陣a正定 a的各級(jí)順序主子式全大于零。