5.7彎曲應(yīng)力

一、彎曲正應(yīng)力  正應(yīng)力強(qiáng)度條件

（一）純彎曲

梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力時(shí)的彎曲，稱為純彎曲。

（二）中性層與中性軸

中性層  桿件彎曲變形時(shí)既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層。

中性軸  中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線。

中性軸位置  當(dāng)桿件發(fā)生平面彎曲，且處于線彈性范圍時(shí)，中性軸通過橫截面形心，且垂直于荷載作用平面。

中性層的曲率  桿件發(fā)生平面彎曲時(shí)，中性層(或桿軸)的曲率與彎矩間的關(guān)系為

式中 ρ為變形后中性層(或桿軸)的曲率半徑；ei₂為桿的抗彎剛度，軸z為橫截面的 中性軸。

（三）平面彎曲桿件橫截面上的正應(yīng)力

分布規(guī)律  正應(yīng)力的大小與該點(diǎn)至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側(cè)為拉應(yīng)力，  另一側(cè)為壓應(yīng)力，如圖5—7—1(a)。

式中  m為所求截面的彎矩，i_z為截面對(duì)中性軸的慣性矩，w_z為抗彎截面系數(shù)。  w_z是一個(gè)只與橫截面的形狀及尺寸有關(guān)的幾何量。對(duì)于矩形截面：

對(duì)于圓形截面：

其余w_z按式w_z＝i_z/y_max計(jì)算。

討論：1.公式適用于線彈性范圍、且材料在拉伸和壓縮時(shí)彈性模量相等情況。

2.在純彎曲時(shí)，橫截面在彎曲變形后保持平面，公式為 精確解；橫力彎曲時(shí)，由于剪應(yīng)力的存在，橫截面發(fā)生翹曲，但精確研究指出，工程實(shí)際中的梁，只要跨度與截面高度之比l／h>5，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式仍適用。

（四）梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

強(qiáng)度條件  梁的最大工作正應(yīng)力不得超過材料的許用正應(yīng)力，即

注意，當(dāng)梁內(nèi)σ_tmax≠σ_cmax，且材料的[σ_t]≠[σ_c]時(shí)，梁的拉伸與壓縮強(qiáng)度均應(yīng)得到滿足。

二、彎曲剪應(yīng)力  剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

（一）矩形截面梁的剪應(yīng)力

兩個(gè)假設(shè)：

1．剪應(yīng)力方向與截面的側(cè)邊平行。

2．沿截面寬度剪應(yīng)力均勻分布(見圖5—7—2)。

計(jì)算公式

 

式中  v為橫截面上的剪力，b為橫截面的寬度，i_z為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性    矩，s_z^*為橫截面上距中性軸為y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)中性軸的靜矩。

最大剪應(yīng)力  發(fā)生在中性軸處

（二）其他常用截面圖形的最大剪應(yīng)力

工字型截面

式中  d為腹板厚度，

工字型鋼中，i_z/  可查型鋼表。

圓形截面

環(huán)形截面

最大剪應(yīng)力均發(fā)生在中性軸上。

（三）剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

梁的最大工作剪應(yīng)力不得超過材料的許用剪應(yīng)力，即

式中 v_max為全梁的最大剪力； 為中性軸一邊的橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩；b為 橫截面在中性軸處的寬度；i_z為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣矩。

三、梁的合理截面

梁的強(qiáng)度通常是由橫截面上的正應(yīng)力控制的。由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 ，可知，在截面積a一定的條件下，截面圖形的抗彎截面系數(shù)愈大，梁的承載能力就愈大，故截面就愈合理。因此就w_z／a而言，對(duì)工字形、矩形和圓形三種形狀的截面，工字形最為合理，矩形次之，圓形最差。

此外對(duì)于[σ_t]=[σ_c]的塑性材料，一般采用對(duì)稱于中性軸的截面，使截面上、下邊緣的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力。對(duì)于[σ_t]≠[σ_c]的脆性材料，一般采用不對(duì)稱于中性軸的截面如t形、門形等，使最大拉應(yīng)力σ_tmax和最大壓應(yīng)力σ_cmax一同時(shí)達(dá)到[σ_t] 和[σ_c]，如圖5—7—3所示。

四、彎曲中心的概念

橫向力作用下，梁分別在兩個(gè)形心主慣性平面xy和xz內(nèi)彎曲時(shí)，橫截面上剪力v_y和v_z作用線的交點(diǎn)，稱為截面的彎曲中心，也稱為剪切中心。

當(dāng)梁上的橫向力不通過截面的彎曲中心時(shí)，梁除了發(fā)生彎曲變形外還要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。

彎曲中心是截面幾何性質(zhì)之一，僅與截面的幾何形狀有關(guān)，而與荷載大小和材料性質(zhì)無(wú)關(guān)。

若截面具有一對(duì)稱軸，則彎曲中心必在截面的對(duì)稱軸上。若截面具有兩個(gè)對(duì)稱軸，其交點(diǎn)即為彎曲中心。t形、l形等狹長(zhǎng)矩形組成的截面，兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形中線的交點(diǎn)即為截 面的彎曲中心。

[例2]  圖5-7-5所示兩梁材料相同，當(dāng)兩梁各對(duì)應(yīng)截面轉(zhuǎn)角相等時(shí)，試問兩梁橫截面上最大正應(yīng)力之比為多少?