5.6  彎曲內(nèi)力

【內(nèi)容提要】①?gòu)澢鷥?nèi)力部分應(yīng)掌握對(duì)稱截面梁平面彎曲的特征，梁的內(nèi)力的產(chǎn)生，彎矩、剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定，作剪力圖和彎矩圖的方法；掌握 、v、m之間的微分關(guān)系，熟練掌握各種受力情況下v、m圖的特征，掌握用簡(jiǎn)便法計(jì)算指定截面上v、m的方法。

②彎曲應(yīng)力部分應(yīng)明確彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用條件，掌握橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律，掌握中性軸為對(duì)稱軸時(shí)或?yàn)榉菍?duì)稱軸時(shí)正應(yīng)力強(qiáng)度的計(jì)算。熟悉常見(jiàn)截面剪應(yīng)力的分布規(guī)律，熟悉剪應(yīng)力公式的應(yīng)用，掌握剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用。了解梁的合理截面形狀，熟悉提高梁強(qiáng)度的措施。了解彎曲中心的概念，熟悉常見(jiàn)開(kāi)口薄壁桿件的彎曲中心。

③彎曲變形部分應(yīng)熟悉彎矩與曲率的關(guān)系、確定梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程的條件即撓曲線近似微分方程、邊界條件與連續(xù)條件。掌握積分法求梁的位移的步驟與方法，正確地寫出梁的邊界條件與連續(xù)條件，掌握求梁的位移的疊加法。熟悉梁的彎曲應(yīng)變能的計(jì)算和應(yīng)用卡氏第二定理求梁的位移。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】彎曲內(nèi)力部分要求能熟練的作 圖；彎曲應(yīng)力部分重點(diǎn)掌握正應(yīng)力和剪應(yīng)力最大的危險(xiǎn)截面的確定，梁受拉側(cè)和受壓側(cè)的判斷，焊接工字型截面梁三類危險(xiǎn)點(diǎn)的確定；彎曲變形部分重點(diǎn)是給定梁的邊界條件和連續(xù)條件的正確寫法和用疊加法求梁的位移的靈活運(yùn)用。

5.6.1  平面彎曲的概念

【內(nèi)容講解】

彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。

彎曲變形特征  任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)桿的軸線也彎成曲線。

平面彎曲  荷載作用面(外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面)與彎曲平面(即梁軸線彎曲后所在平面)相平行或重合的彎曲。

產(chǎn)生平面彎曲的條件：

(一)梁具有縱對(duì)稱面時(shí)，只要外力(橫向力或外力偶)都作用在此縱對(duì)稱面內(nèi)。

(二)非對(duì)稱截面梁

純彎曲時(shí)，只要外力偶作用在與梁的形心主慣性平面(即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構(gòu)成的平面)平行的平面內(nèi)。

橫力彎曲時(shí)，橫向力必須通過(guò)橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內(nèi)。

5.6.2  梁橫截面上的內(nèi)力分量——剪力與彎矩

（一）剪力與彎矩

剪力  梁橫截面上切向分布內(nèi)力的合力，稱為剪力，以v表示。

彎矩  梁橫截面上法向分布內(nèi)力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以m表示。

剪力與彎矩的符號(hào)  考慮梁微段dx，使右側(cè)截面對(duì)左側(cè)截面產(chǎn)生向下相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的剪力為正，反之為負(fù)；使微段產(chǎn)生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)。

由截面法可知：

橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力在橫截面方向的投影代數(shù)和；且左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負(fù)剪力。

橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和；且向上外力均引起正彎矩，左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶及右側(cè)梁上逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩，反之則產(chǎn)生負(fù)彎矩。

（二）剪力方程與彎矩方程

剪力方程  表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱為剪力方程，表示為

             v=v(x)

彎矩方程  表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù)，稱為彎矩方程，表示為

             m=m(x)

（三）剪力圖與彎矩圖

剪力圖  表示沿桿軸各橫截面剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。

彎矩圖  表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。

5.6.3  荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用

（一）q、v、m間的微分關(guān)系

設(shè)荷載集度q(x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)、且規(guī)定以向上為正，則有

（二）應(yīng)用

1．校核剪力圖、彎矩圖的正確性

根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，式(5－6—1)和式(5－6－2)表明剪力圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的荷載集度，彎矩圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)截面上的剪力。

由式(5—6—3)的幾何意義可根據(jù)m(x)對(duì)x二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，定出m(x)圖的凹向；若q(x)>0，則m圖為上凸的曲線；若q(x)<0，則m圖為下凸的曲線。若q(x)=0，則m圖為直線。

2．利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖

由式(5—6—1)可得

即截面掃上的剪力與截面a上的剪力之差等于梁上ab間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中外力作用。

同理由式(5－6—2)可得

即截b上的彎矩與截面a上的彎矩之差等于梁上ab間剪力圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中力偶作用。

于是由式(5—6—1)、(5—6－2)，根據(jù)梁上已知的荷載集度，判定剪力、彎矩圖的圖線形狀、凹向等，而由式(5—6—4)、  (5—6—5)確定控制截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。

特殊截面上的剪力、彎矩值

(一)在集中力作用的截面處，v圖有突變，m圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向一致。

 (二)在集中力偶作用處，v圖無(wú)變化，但m圖有突變。其突變值等于該力偶之矩，突變方向看該力偶對(duì)后半段梁的影響，即該力偶對(duì)后半段梁為產(chǎn)生正彎矩，則向正方向突變，否則反之。

現(xiàn)將上節(jié)和本節(jié)中有關(guān)彎矩、剪力與荷載間的關(guān)系以及剪力圖和彎矩圖的一些特征匯總整理為表5－6－1，以供參考。