4.2 運動學

4.2.1    點的運動

4.2.2  剛體的基本運動

運動學概述

運動學主要研究物體的機械運動規(guī)律。物體的運動規(guī)律主要包括運動方程（描述物體在參考系中的幾何位置隨時間變化關系的表達式）、運動軌跡（物體在空間所經(jīng)過的路線）、速度和加速度，研究這些內容的部分又稱為運動學；研究運動狀態(tài)的變化與受外力之間的關系的部分又稱為動力學。

4.2.1點的運動

1、運動方程

　　此式即為點在已知軌跡時的運動方程。這種研究點的運動規(guī)律的方法稱為自然法。顯然，采用自然法的前提是已知點的運動軌跡。

 2、速度

　　速度是描述點運動快慢和運動方向的物理量，速度是矢量，其單位是米／秒（）。

點沿已知軌跡運動時，設其的弧坐標變化量為。則其在內平均速度的大小為：

在時的平均速度就是點的瞬時速度，即

上式表明，點的等于其運動方程對時間t的一階導數(shù)，其方向沿軌跡在該點的切線方向。

3、加速度

　　加速度是描述點的速度大小和方向變化快慢的物理量，加速度也是矢量，其單位為:米／秒^２（）。

　　當點作曲線運動時，其速度不但大小變化，而且方向也變化，因此，點的加速度就包括兩個分量：一個描述速度大小的變化，其方向沿軌跡在該點的切線方向，稱為切向加速度，用a_t表示；另一個描述速度方向的變化，其方向沿軌跡在該點的法線方向，指向曲率中心，稱為法向加速度，用a_n表示。

　　可以推導：點的切向加速度大小等于速度對時間的一階導數(shù)或弧坐標對時間的二階導數(shù)；點的法向加速度大小等于速度的平方除以軌跡在該點處的曲率半徑。即

顯然，點的全加速度等于其切向加速度與其法向加速度的矢量和其大小和方向為：

式中，q表示a與x軸正向的夾角。

例題  如圖為一搖桿滑道機構?；瑝Kｍ可同時在搖桿ｏａ的滑槽中和半徑為r的固定圓弧滑道中滑動。已知，開始時ｏａ處于水平位置，j＝wt（w為常數(shù)）。求滑塊ｍ的運動方程、速度和加速度。

解：(1)以滑塊ｍ為研究對象。由于ｍ在固定圓弧滑道內滑動，因此其運動軌跡是以ｏ₁為圓心、ｒ為半徑的圓弧。

    　(2)用自然法研究ｍ的運動規(guī)律。選ｍ的初始位置ｍ₀為弧坐標原點，正負如圖所示。由圖中的幾何關系可知，ｍ點在任意瞬時的弧坐標為：

            

此即ｍ點的運動方程。

(3)求ｍ點的速度和加速度。

　　速度：  其方向垂直于ｏ₁ｍ，指向弧坐標的正向。

加速度：

         

         

其方向與相同，即沿ｍｏ₁指向ｏ₁。

4、直角坐標法研究點的運動

點作曲線運動時，若其運動軌跡未知，可用直角坐標法研究其運動規(guī)律。

　（1）運動方程

在點ｍ的運動平面內建立直角坐標系ｏxy，則點ｍ的位置可由坐標x、y來描述，而點ｍ的位置又隨時間而連續(xù)變化，因此坐標x、y均是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即

此即點運動方程的直角坐標式。在上式中若消去時間t，則可得到點的軌跡方程：

（2）速度

　　設在瞬時t，點ｍ的位置為（x，y），經(jīng)過時間dt后，運動到（x'，y'）點，如圖所示。在時間dt 內ｍ點的位移為ｍｍ'，則其平均速度為：

　　其瞬時速度為：

　　將位移ｍｍ'向x、y軸分別投影，可得速度在x、y軸投影：

　　上式表明，速度在直角坐標軸上的投影分別等于該點位置的相應坐標對時間的一階導數(shù)。

　　求出速度的投影后，即可求得速度的大小和方向：

　　式中，a表示v與x軸正向的夾角，其具體指向可由、的正負判定。

（3）加速度

　　仿照求速度的方法，可得加速度在x、y軸的投影：

　　全加速度的大小和方向分別為：

　　式中，q表示a與x軸正向的夾角，其具體指向可由a_x、a_y的正負判定。

4.2.2、剛體基本運動

1、剛體的平動

   在剛體的運動過程中，若其上任意一條直線始終與其初始位置保持平行，這種運動稱為剛體的平行移動，簡稱平動。剛體的平動在工程實際中是十分常見的，如列車車箱的運動、平行雙曲柄機構中 連桿的運動等。

2、剛體的定軸轉動

在剛體運動過程中，若其體內或其延伸部分有一條直線始終保持不動，而其余各點均繞此直線作圓周運動，剛體的這種運動稱為剛體繞定軸轉動，簡稱定軸轉動或轉動。固定不動的直線叫轉軸。轉動剛體的運動規(guī)律包括轉動方程、角速度、角加速度。

（1）轉動方程

 如圖所示，剛體繞ｚ軸轉動時，為了確定剛體在轉動過程中的位置，先過ｚ軸做一與地面固連在一起的固定平面ⅰ，然后再過z軸做一與轉動剛體固連的動平面 ⅱ。這樣，就可以用動平面  ii與固定平面 i之間的夾角φ來確定剛體轉動時的位置。φ稱為轉角，是代數(shù)量，其正負表示剛體的轉向。通常規(guī)定：從ｚ軸正向看去，剛體逆時針轉動時，φ取“＋”；剛體順針轉動時，φ取“－”。轉角j的單位為弧度（rad）。

　

顯然，剛體定軸轉動時，轉角j隨時間的變化而變化，是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即：

　　此即剛體轉動方程，它描述了剛體轉動時位置隨時間的變化規(guī)律。

（2）角速度

　　角速度是轉角對時間的變化率，是描述剛體轉動快慢及轉向的物理量。

　　平均角速度在時的極限就是剛體的瞬時角速度，即：

　　上式表明，剛體定軸轉動的角速度等于轉角對時間的一階導數(shù)。

　　角速度w也是代數(shù)量。當時，表示剛體逆時針轉動；當時，表示剛體順時針轉動。角速度的單位是弧度／秒（rad／s）。工程中還常用轉速n轉／分（）表示剛體轉動的快慢，二者間的關系為：

（3）角加速度

　　角加速度是角速度對時間的變化率，是描述剛體角速度變化快慢的物理量。

　　平均角加速度在t趨近于零時的極限就是剛體的瞬時角加速度，即：

　　上式表明，剛體定軸轉動的角加速度等于角速度對時間的一階導數(shù)，等于轉角對時間的二階導數(shù)。

　　角加速度e也是代數(shù)量，其單位是弧度／秒²（rad／s²）。當e與w符號相同時，表示剛體加速轉動；當e與w符號相反時，表示剛體減速轉動。

例題：已知某軸制動后的轉動方程為（以rad計，t以s計），求時軸的角速度和角加速度。

解：

將代入上式得：

時軸的角速度和角加速度分別為和。

3、定軸轉動剛體內各點的速度和加速度

　　一、轉動剛體內任一點的運動方程

　　當剛體定軸轉動時，其內各點均在垂直于轉軸的平面內作圓周運動。設ｍ為剛體內的任意一點，到轉軸的距離為ｒ（稱為轉動半徑）。若以剛體的轉角為時點ｍ的位置ｍ₀為原點建立自然坐標，則在任一瞬時t，ｍ點的弧坐標為：

ｓ＝ｒφ

此式即為ｍ點的運動方程。

　　二、速度

　　由得轉動剛體內任意一點的速度大小為：

　　上式表明，轉動剛體內任意一點的速度大小等于剛體的角速度與該點的轉動半徑的乘積。顯然，速度的方向垂直于轉動半徑并指向轉動的一方。

三、加速度

　　由于轉動剛體內任意一點作圓周運動，因此其加速度可分解為切向加速度和法向加速度。

　　切向加速度的大小為：

　　法向加速度的大小為：

　   顯然，切向加速度的方向垂直于轉動半徑并與角速度的轉向一致；法向加速度的方向沿轉動半徑指向轉軸。

    　剛體內任意一點的全加速度的大小和方向為：

　　 式中θ表示全加速度與法向加速度（轉動半徑）的夾角。

例題：如圖所示，起重機鼓輪直徑，鋼絲繩繞在鼓輪上，下端懸有重物。設鋼絲繩不可伸長且與鼓輪間無相對滑動。若起吊時鼓輪的轉動方程為（以計，t以ｓ計），求：(1)重物的加速度，(2)起吊后2ｓ時重物的速度，(3)起吊后2ｓ內重物上升的高度。

解：因鋼絲繩不可伸長且與鼓輪間無相對滑動，故重物的速度與鼓輪輪緣上點的速度相等，故重物的加速度與鼓輪輪緣上點的切向加速度相等。

(1)求重物的加速度：鼓輪的角加速度

輪緣上一點的切向加速度：

重物的加速度

(2)起吊后2ｓ時重物的速度:

鼓輪的角速度

起吊后2ｓ時鼓輪的角速度:

起吊后2ｓ時鼓輪輪緣上一點線速度:

起吊后2ｓ時重物的速度

(3)起吊后2ｓ內重物上升的高度:

起吊后2ｓ內鼓輪轉過的轉角

起吊后2ｓ內鼓輪轉過的弧長

因鋼絲繩不可伸長，故起吊后2ｓ內重物上升的高度