1.2  微分學(xué)

1.2.1  函數(shù)極限與連續(xù)

1.函數(shù)

兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，它要求一個(gè)變量確定，則另一個(gè)變量唯一確定。

（1）有界性：|f(x)|£m

（2）單調(diào)性：若x<y，必有f(x)<f(y)，則稱f(x)遞增，若f(x)>f(y)，則稱其遞減

（3）奇偶性：若f(-x)=f(x)，則稱偶函數(shù)，若 f(-x)=-f(x)，則稱其為奇函數(shù)

（4）周期性：若存在t，使得f(x+t)=f(x)，則稱其為以t為周期的周期函數(shù)

基本初等函數(shù)

（1）常數(shù)y=c

（2）指數(shù)函數(shù)y=a^x   

（3）冪函數(shù)y=x^a   

（4）對數(shù)函數(shù)y=log_a^x  

（5）三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx

     y=secx,y=cscx

（6）反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx

     y=arctanx,y=arccotx

初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合而構(gòu)成的函數(shù)。

2.極限

 

極限存在的兩個(gè)定理及兩個(gè)重要極限

夾逼定理：

單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限

第一個(gè)重要極限

第二個(gè)重要極限 

無窮小有關(guān)理論

（1）定義：以0為極限的變量

           有限個(gè)無窮小之和是無窮小

           有限個(gè)無窮小之積是無窮小

           有界變量與無窮小之積是無窮小

（2）

     其中 是同過程下的無窮小

（3）某一過程中絕對值是無窮大的變量稱為無窮大

（4）同一過程下的無窮大與無窮小互為倒數(shù)關(guān)系

（1）高階無窮小

（2）同階無窮小

（3）等價(jià)無窮小

（4）求極限時(shí)等價(jià)無窮小可以相互替換（乘法）

（5）

     

3.連續(xù)

（1）

（2）有界性定理

（3）最值存在定理

（4）零點(diǎn)存在定理

1.2.2 一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)

2.導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則

基本求導(dǎo)公式

求導(dǎo)法則

鏈?zhǔn)椒▌t

3.微分dy=y’dx

          

        

                              

            

基本微分公式

運(yùn)算法則

 

微分的一階形式不變性

4.中值定理與泰勒公式

（1）中值定理

羅爾定理：函數(shù)f(x)滿足

1.在[a,b]上連續(xù)；

2.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

3.f(a)=f(b)

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)c，使f’(c)=0

拉格朗日定理：函數(shù)f(x)滿足

1.在[a,b]上連續(xù)；

2.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)c，使

f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

柯西定理：函數(shù)f(x)，g(x)滿足

1.在[a,b]上連續(xù)；

2.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，g’(x)¹0；

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)c，使

 

（2）泰勒公式

                                             

                

（3）洛比達(dá)法則

            

    

   

     

5.函數(shù)的極值和最大值與最小值

                               

 

 

6.曲線的凹凸、拐點(diǎn)

典型例題

1.函數(shù)在   b

a.單調(diào)增

b.單調(diào)減

c.有界

d.偶函數(shù)

2.下列極限不正確的是  a

               

              

3.下列哪個(gè)是無窮小   a

           

       

4.與x等價(jià)的無窮小是  b

           

               

5.已知，則  b

               

         

6.在x=-1處連續(xù)的函數(shù)是    d

         

                 

7.下列數(shù)列不收斂的是    b

                   

                       

8.設(shè)函數(shù)f(x)在x₀ 處可導(dǎo)，則  d

                  

9.   導(dǎo)數(shù)為1的點(diǎn)  a

           

          

10.已知  ，則   a

       

        

11.設(shè)函數(shù)f(x)可微，則在點(diǎn)x處，當(dāng)時(shí) ,是  a

a.高階無窮小                b.低階無窮小

c.等價(jià)無窮小                d.同階不等價(jià)無窮小

 

12.  確定y是x的函數(shù)，則在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率是 c

a.3         b.2         c.1         d.0

 

13. f(x)二階可導(dǎo)，且  ，則   d

    

14.設(shè)f(x)是偶數(shù)，若f’(-x₀ )=-k¹0，則f’(x₀ )=   b

a.-k                b.k         c.-1/k      d.1/k

 

15.函數(shù)f(x)在x₀ 處取極大值，則   d

                          

                或?qū)?shù)不存在