(二)光的衍射

1.惠更斯-菲涅耳原理

菲涅耳在惠更斯原理的基礎(chǔ)上進一步假定,從同一波陣面上各點所發(fā)出的子波,經(jīng)傳播而在空間某點相遇時,也可相互疊加而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。這個經(jīng)過發(fā)展了的惠更斯原理稱為惠更斯一菲涅耳原理。它指出在衍射波場中出現(xiàn)衍射條紋的明暗,實質(zhì)上是子波干涉的結(jié)果。

2.單縫衍射

如圖8，ab為單縫截面，其寬度為a, 在緊靠單縫處放置一透鏡，在透鏡的焦平面上放置一光屏。波長為λ的單色平行光垂直入射到單縫上，由不同子波波源發(fā)出的傳播方向相同的衍射光線，經(jīng)過透鏡后會聚于光屏上，相互疊加產(chǎn)生干涉。若滿足相互加強，則在屏上出現(xiàn)明條紋；若相互消弱， 則形成暗條紋，這種衍射稱為弗朗禾費衍射。

 (1)屏上出現(xiàn)衍射明、暗條紋的條件

透鏡是為了將不同的衍射角的各組平行光線會聚在屏上的不同處。光通過透鏡不會引起附加的光程差,于是會聚處是明是暗只決定于對應的平行光束中各衍射光線間的相互干涉情況。這類問題可用"波帶"法來解決。

所謂"波帶"是將波陣面 (即寬度為α的單縫平面)分成若干個等分的發(fā)光帶,而相鄰兩個發(fā)光帶對應位置發(fā)出的光，其光程差為λ/2, 這樣被等分成的每一個發(fā)光帶稱為一個"半波帶"。如圖9所示,平行光到達寬度為α的單縫ab,其中衍射角為φ的一束平行光，經(jīng)透鏡會聚在屏幕中央上方的p處。作ac平面垂直于波線。設(shè)以λ/2為單位將縫ab的兩條邊緣光線的光程差bc剛好分為三等分,即bc滿足asinφ=3/2λ

 

圖8                                              圖9

過每一等分點，作ac的平行線,則縫平面ab也被相應地分成三等分aa^’、a^’a^’’和a^’’b (每一等分為一個"波帶")。相鄰兩個波帶的光在p處相消,而剩下第三個波帶的光對p處的亮度有貢獻,所以p處為明紋。由此可知,當縫ab被分成奇數(shù)個波帶時,屏上p處為明紋,單縫從a點和b點沿φ角方向發(fā)出的兩條邊緣光線的光程差滿足

              （15）          

k=1,稱一級衍射明紋,其余依次類推。

當縫平面ab被分成偶數(shù)個波帶時,相鄰兩波帶的對應光線在屏上相遇處兩兩相消, 因此該處為暗紋。暗紋條件下，單縫兩條邊緣光線的光程差滿足

              （16）

k=1,稱一級衍射暗紋,其余依次類推。

當縫ab兩條邊緣光線的光程差在-λ到+λ之間(在兩條一級衍射暗紋之間) ,則屏幕上相應區(qū)間為中央明紋,此時角度滿足

                     （17）

(2)明紋寬度

相鄰兩級衍射暗紋中心之間距就是明紋的寬度。除中央明紋外,其余各級的明紋寬度為

                             （18）

式中f為透鏡的焦距, λ為人射單色光的波長,α為單縫的寬度。 中央明紋的寬度為其他各級明紋寬度的兩倍。條紋亮度隨級次的增大而減弱。

   圖11  單縫衍射圖樣

(3)單縫寬度a對衍射條紋的影響

由式（15）可見,當入射單色光的波長λ一定時,在單縫寬度α愈小時,相應各級衍射明紋的φ角就愈大,也就是光的衍射現(xiàn)象愈顯著。反之,在α愈大時,各級衍射明紋對應的φ角愈小,這些明紋都向中央明紋靠攏,衍射現(xiàn)象愈不明顯;若α»λ時,各級衍射明紋全部并入中央明紋區(qū)域,該區(qū)域被均勻照亮,這時光可看作是直線傳播的。

 (4)用白光照射單縫

當單縫寬度α一定時,對于同一級衍射明紋,入射光的波長愈大,則相應的衍射角φ愈大。因此,以白光照射時,中央明紋的中心處為白色,在中央明紋兩側(cè)出現(xiàn)由紫到紅的彩色條紋,離中心最近的是紫色條紋,最遠的是紅色條紋。這組彩色條紋稱為衍射光譜。

【例題】若對應于衍射角，單縫處的波面可劃分為5個半波帶，則單縫的寬度為a為：

a 2λ                      b 3λ                    c 5λ                     d 6λ 

答案 c

分析：單縫處的波面可以劃分為5個半波帶，這是亮紋的情況，由單縫衍射的明紋條件，

，k=2，代入求得單縫寬度為5λ。

【例題】一束單色平行光垂直照射在寬度為1.0mm的單縫上，在縫后放一焦距為2.0m的會聚透鏡，中央明紋寬度為2mm，則入射光波長約為

a 1000nm                 b 400nm                 c 500nm                  d 600nm

答案c

分析：中央明紋， ，則，入射波長

3.衍射光柵

(1)光柵常數(shù)

光柵是由大量的等寬、等間距的單縫所組成的光學器件,縫寬(單縫的透光部分)α與縫間距(兩相鄰單縫之間不透光部分) b之和(α+b)稱為光柵常數(shù)。光柵常數(shù)越小, 單位長度的單縫數(shù)越多,光柵越精致。

(2)光柵衍射在屏上出現(xiàn)明、暗條紋的條件

單色平行光垂直照射在光柵上,經(jīng)凸透鏡會聚,在位于透鏡焦平面的光屏上出現(xiàn)明暗相間的條紋,稱為光柵衍射條紋, 如圖11所示。光柵衍射條紋的明、暗是單縫衍射和光柵各縫間干涉的總效果。

	圖11

 

①當衍射角為φ時，若滿足

          (19)

 

則屏上的p點出現(xiàn)明條紋。

(α+b)越小,透光縫數(shù)n越多,條紋越細、越亮, 條紋之間分得越開。

②若衍射角φ使得

其中m = 1,2,…, (n - 1) , (n + 1) ,…(2n -1) ，(2n+ 1)… （kn-1）,(kn+1)……(n為光柵的縫數(shù))

 

p點為暗條紋,在光柵兩條明條紋之間出現(xiàn)(n-1)條暗條紋。

③如果角度φ滿足明條紋條件,即

但對每一單縫來說，兩條邊緣光線到達該點的光程差恰好滿足暗條紋條件,即

組成光柵的每一單縫,在屏上的p點是暗紋。單縫的貢獻都為零，所以該位置點本應出現(xiàn)的明條紋在屏上不再出現(xiàn),這種現(xiàn)象稱為缺級。

缺級的條件是

=整數(shù)               (20

)

光柵公式作幾點討論:

1)一定波長的單色光垂直入射光柵時,若光柵的光柵常數(shù)(α+b)較大,則各級明條紋對應的衍射角φ都較小,因此,相鄰明條紋之間的間距較小;反之,光柵的光柵常數(shù)越小,相鄰明條紋對應的衍射角φ相差越大,條紋之間的距離就越大。

2)給定光柵,即光柵常數(shù)一定,對于同一級明紋(k一定)入射光波長較大時,相對應的衍射角φ也較大;反之,波長較小時,相對應的衍射角φ也較小。用白光照射光柵時,除中央明紋外,其他各級明條紋都形成彩色的光譜(紫光的衍射角較小,紅光的衍射角較大)。

3)由于,因此光柵常數(shù)與入射光波長一定時,  k值不可能是無限的,即明條紋的數(shù)目是有限的。

【例題】一衍射光柵，每厘米內(nèi)有200條透光縫，每條透光縫寬為，則在單縫衍射中央明紋寬度內(nèi)，出現(xiàn)的主極大數(shù)目為：

a 1條                      b 2條                       c3條                   d4條

答案 c

分析：本題綜合性較強，先要求出光柵常數(shù)，由題目給出是200條透光縫，光柵常數(shù)。要記清，中央明紋的寬度是由單縫來決定的，題目中單縫寬度確定了，那么中央明紋邊緣處對應的角度也就確定了，由可以得到，中央明紋邊緣對應的角度值滿足，光柵衍射主極大公式為代入可得k=2, 這說明k=2對應的主極大剛好與單縫衍射的第一級暗紋重合，將發(fā)生缺級現(xiàn)象。那么中央明紋間共有3條主極大，分別是k=0,±1對應的3個主極大。

4.小圓孔衍射、光學儀器分辨率

單色平行光垂直入射在小圓孔上,經(jīng)凸透鏡會聚,在位于透鏡焦平面的屏幕上出現(xiàn)明暗交替的環(huán)紋,中心光斑稱為愛里斑。

	圖12

 

入射光波長為λ,圓孔直徑為d, 透鏡焦距為f, 愛里斑直徑為d, 如圖12所示,愛里斑對透鏡光心張角2θ為

          （21）

圖13

如果一個點光源的衍射圖樣，其中央最亮處(愛里斑中心)恰好與另一個點光源的衍射圖樣中的第一個最暗處相重合, 如圖13所示, 這時兩個點光源，恰好能被儀器分辨 (該條件稱瑞利準則)。此時,兩個點光源的衍射圖樣的中央最亮處 (兩個愛里斑的中心)之間的距離為愛里斑的半徑,兩個點光源對透鏡光心的張角為

             (22)

圖14

式子中稱為最小分辨角，最小分辨角的倒數(shù)稱為儀器的分辨率,即 （23）

可見，最小分辨率與波長λ成反比，與孔徑d成正比。提高分辨率的方法是增加孔徑d，或使用短波長光源照射。

5. x射線的衍射、布拉格公式

x射線波長范圍在0.01—10nm之間。由于其波長很短，普通光柵的光柵常數(shù)d遠遠大于其波長，因而用普通光柵是無法觀察到x射線的衍射現(xiàn)象的。

x射線的光柵衍射，只能利用晶體才能實現(xiàn)。

圖16

如圖16所示，波長為λ的x射線投射到晶體上時，晶體中的原子就成為子波的波源，向各個方向發(fā)出散射波?？梢宰C明，從所有各平行層上散射的x射線，只有滿足（24）式條件時才能相互增強。

         （24）

式子中d為相鄰兩原子平面層的間距，又稱晶格常數(shù)；θ為入射x光的掠射角。該公式稱為布拉格公式。如果已知d,θ，則可以計算出x射線的波長λ；反之，已知θ，λ，也可求晶格常數(shù)d。