第六節(jié) 彎曲內力

本節(jié)大綱要求：梁的內力方程；剪力圖和彎矩圖；分部載荷、剪力、彎矩之間的微分關系，正應力強度條件；切應力強度條件；梁的合理截面；彎曲中心概念；求梁變形的積分法、疊加法。

一、平面彎曲的概念

彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。

彎曲變形特征：任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對轉動，同時桿的軸線也彎成曲線。

平面彎曲：荷載作用面(外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面)與彎曲平面(即梁軸線彎曲后所在平面)相平行或重合的彎曲。

產(chǎn)生平面彎曲的條件：

(一)梁具有縱對稱面時，只要外力(橫向力或外力偶)都作用在此縱對稱面內。

(二)非對稱截面梁

純彎曲時，只要外力偶作用在與梁的形心主慣性平面(即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構成的平面)平行的平面內。

橫力彎曲時，橫向力必須通過橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內。

二、梁橫截面上的內力分量——剪力與彎矩

（一）剪力與彎矩

剪力：梁橫截面上切向分布內力的合力，稱為剪力，以v表示。和教材中的fs一個意思。

彎矩：梁橫截面上法向分布內力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以m表示。

剪力與彎矩的符號考慮梁微段dx，使右側截面對左側截面產(chǎn)生向下相對錯動的剪力為正，反之為負；使微段產(chǎn)生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為負。

由截面法可知：

橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面左側(或右側)梁上所有外力在橫截面方向的投影代數(shù)和；且左側梁上向上的外力或右側梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負剪力。

橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左側(或右側)梁上所有外力對該截面形心的力矩代數(shù)和；且向上外力均引起正彎矩，左側梁上順時針轉向的外力偶及右側梁上逆時針轉向的外力偶引起正彎矩，反之則產(chǎn)生負彎矩。

（二）剪力方程與彎矩方程

剪力方程：表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱為剪力方程，表示為

v=v(x)

彎矩方程：表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù)，稱為彎矩方程，表示為

m=m(x)

（三）剪力圖與彎矩圖

剪力圖：表示沿桿軸各橫截面剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。

彎矩圖：表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。

三、荷載集度與剪力、彎矩間的關系及應用

（一）q、v、m間的微分關系

設荷載集度q(x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)、且規(guī)定以向上為正，則有

（二）應用

1．校核剪力圖、彎矩圖的正確性

根據(jù)一階導數(shù)的幾何意義，式(5－6—1)和式(5－6－2)表明剪力圖上某點的切線斜率等于梁上相應點處的荷載集度，彎矩圖上某點的切線斜率等于梁上相應截面上的剪力。

由式(5—6—3)的幾何意義可根據(jù)m(x)對x二階導數(shù)的正負，定出m(x)圖的凹向；若q(x)>0，則m圖為上凸的曲線；若q(x)<0，則m圖為下凸的曲線。若q(x)=0，則m圖為直線。

2．利用微分關系作剪力圖和彎矩圖

由式(5—6—1)可得

即截面b上的剪力與截面a上的剪力之差等于梁上ab間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必須無集中外力作用。

同理，由式(5－6—2)可得

即截b上的彎矩與截面a上的彎矩之差等于梁上ab間剪力圖的面積，但兩截面之間必須無集中力偶作用。

于是由式(5—6—1)、(5—6－2)，根據(jù)梁上已知的荷載集度，判定剪力、彎矩圖的圖線形狀、凹向等，而由式(5—6—4)、 (5—6—5)確定控制截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。

四、特殊截面上的剪力、彎矩值

(一)在集中力作用的截面處，v圖有突變，m圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向一致。

(二)在集中力偶作用處，v圖無變化，但m圖有突變。其突變值等于該力偶之矩，突變方向看該力偶對后半段梁的影響，即該力偶對后半段梁為產(chǎn)生正彎矩，則向正方向突變，否則反之。

現(xiàn)將上節(jié)和本節(jié)中有關彎矩、剪力與荷載間的關系以及剪力圖和彎矩圖的一些特征匯總整理為表5－6－1，以供參考。

[例5－6—1] 圖5—6—2所示懸臂梁，承載如圖。試列出剪力方程、彎矩方程并作v、m圖。

[解] 因梁上荷載不連續(xù)故需分段列方程。

用任意截面nn截開梁，取左部為脫離體，如圖(b)所示。由∑y=0，

同理用任意截面kk截開梁，取左部為脫離體如圖(c)所示。由∑y=0，

根據(jù)剪力方程、彎矩方程作圖。對于線性方程只需算出各段的端值然后連直線即可。

v、m圖如圖(d)、(e)所示。

[例5—6—2] 寫出圖示梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。

[解] 1．首先求支座反力-正確的計算支座反例是繪制內力圖的關鍵。

故所求的支座反力正確。

2．分段建立剪力方程和彎矩方程

3．作剪力圖和彎矩圖

根據(jù)ac段，cb段剪力方程繪制剪力圖

ac段：v為常量，故y圖為水平線。

cb段：v為一次函數(shù)，因而y圖為斜直線：只需確定兩個截面v值。

根據(jù)ac段，cb段彎矩方程繪制彎矩圖

ac段 m為一次函數(shù)，因而m圖為一斜直線，只需確定兩個截面m值。

cb段 m為二次拋物線，只少要確定三個截面m值，然后用光滑曲線連起來。

拋物線頂點在 v=2qa-qx=0處

x=2a

第七節(jié) 彎曲應力

一、彎曲正應力正應力強度條件-教材的88頁

（一）純彎曲

梁的橫截面上只有彎矩而無剪力時的彎曲，稱為純彎曲。

圖純彎曲

圖中性層與中性軸

中性層桿件彎曲變形時既不伸長也不縮短的一層。

中性軸中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應力為零的各點的連線。

中性軸位置：當桿件發(fā)生平面彎曲，且處于線彈性范圍時，中性軸通過橫截面形心，且垂直于荷載作用平面。

hw083

中性層的曲率：桿件發(fā)生平面彎曲時，中性層(或桿軸)的曲率與彎矩間的關系為

式中 ρ為變形后中性層(或桿軸)的曲率半徑；ei_z為桿的抗彎剛度，軸z為橫截面的中性軸。

（二）平面彎曲桿件橫截面上的正應力

分布規(guī)律：正應力的大小與該點至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側為拉應力，另一側為壓應力，如圖5—7—1(a)所示。

計算公式

任一點應力-

最大應力

式中 m為所求截面的彎矩，i_z為截面對中性軸的慣性矩，w_z為抗彎截面系數(shù)。 w_z是一個只與橫截面的形狀及尺寸有關的幾何量。對于矩形截面：

對于圓形截面：

其余w_z按式w_z＝i_z/y_max計算。

需要注意的是：1，公式適用于線彈性范圍、且材料在拉伸和壓縮時彈性模量相等情況。

2．在純彎曲時，橫截面在彎曲變形后保持平面；橫力彎曲時（梁的橫截面上同時有彎矩和剪力），由于剪應力的存在，橫截面發(fā)生翹曲，但精確研究指出，工程實際中的梁，只要跨度與截面高度之比l／h>5，純彎曲時的正應力公式仍適用。

（三）梁的正應力強度條件

強度條件梁的最大工作正應力不得超過材料的許用正應力，即

注意，當梁內σtmax（拉）≠σcmax（壓），且材料的[σ_t]≠[σ_c]時，梁的拉伸與壓縮強度均應得到滿足。

二、彎曲剪應力剪應力強度條件

（一）矩形截面梁的剪應力

兩個假設：1．剪應力方向與截面的側邊平行。2．沿截面寬度剪應力均勻分布(見圖5—7—2)。

計算公式

式中 v為橫截面上的剪力，b為橫截面的寬度，i_z為整個橫截面對中性軸的慣性矩，s_z^*為橫截面上距中性軸為y處橫線一側的部分截面對中性軸的靜矩。

最大剪應力發(fā)生在中性軸處

（二）其他常用截面圖形的最大剪應力

工字型截面

式中 d為腹板厚度，

工字型鋼中，i_z/可查型鋼表。

圓形截面

環(huán)形截面

最大剪應力均發(fā)生在中性軸上。

（三）剪應力強度條件

梁的最大工作剪應力不得超過材料的許用剪應力，即

式中 v_max為全梁的最大剪力；為中性軸一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩；b為橫截面在中性軸處的寬度；i_z為整個橫截面對中性軸的慣矩。

三、梁的合理截面

梁的強度通常是由橫截面上的正應力控制的。由彎曲正應力強度條件，可知，在截面積a一定的條件下，截面圖形的抗彎截面系數(shù)愈大，梁的承載能力就愈大，故截面就愈合理。因此就w_z／a而言，對工字形、矩形和圓形三種形狀的截面，工字形最為合理，矩形次之，圓形最差。此外對于[σ_t]=[σ_c]的塑性材料，一般采用對稱于中性軸的截面，使截面上、下邊緣的最大拉應力和最大壓應力同時達到許用應力。對于[σ_t]≠[σ_c]的脆性材料，一般采用不對稱于中性軸的截面如t形、門形等，使最大拉應力σ_tmax和最大壓應力σ_cmax一同時達到[σ_t] 和[σ_c]，如圖5—7—3所示。