四、動(dòng)能定理

力對(duì)空間的積累效應(yīng)。

動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化與作用力的功之間的關(guān)系，它是研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的重要定理之一。接下來(lái)先看復(fù)習(xí)下功

（一）力的功

力的功是力在一段路程中對(duì)物體作用的累積效應(yīng)（空間，而沖量是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)）。功的單位是n·m，稱為焦耳(j)。功的計(jì)算表達(dá)式列于表4—3-4、表4—3—5。功是標(biāo)量，但是有正功負(fù)功。

注意：變力做功：微小路程內(nèi)認(rèn)為是恒力做功，微元思想——元功，總功是元功的積分。

常見(jiàn)力做功的表述見(jiàn)：

重力始終是豎直向下，所以沿重力方向向下有位移，重力做功為正；相反取負(fù)。

彈性力做功：是由元功推導(dǎo)出的，元功fdб=kбdб.

力矩做功——力矩與轉(zhuǎn)角的乘積。包括力偶。

（二）動(dòng)能

動(dòng)能是物體由于速度而具有的能量，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種量度。動(dòng)能恒為正值。單位與功相同。動(dòng)能的具體表達(dá)式如表4—3—6。

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能是所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。

注意：定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的表達(dá)。1/2jw², 與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)動(dòng)能相似1/2mv²，

平面運(yùn)動(dòng)剛體：平動(dòng)動(dòng)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

（三）勢(shì)能

計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，某些力做功只與質(zhì)點(diǎn)或者質(zhì)點(diǎn)系的始末位置有關(guān)，這些力叫做保守力。這些力可以用場(chǎng)來(lái)描述，如重力（場(chǎng)），彈性力（場(chǎng)），萬(wàn)有引力（場(chǎng)）。如果物體沿任何一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，保守力做功為零。所以定義與始末位置有關(guān)的能量叫勢(shì)能。如下定義：

質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中從某一位置運(yùn)動(dòng)到零位置時(shí)，有勢(shì)力的功稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢(shì)能。在不同勢(shì)力場(chǎng)中勢(shì)能的表達(dá)式如表4-3-7。

所以勢(shì)能的大小與勢(shì)能零位置有關(guān)，理論上零位置可以任意選取，實(shí)際中選擇利于分析的位置為零。

注意：萬(wàn)有引力勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)或者質(zhì)點(diǎn)系的初始矢徑與末矢徑的差。區(qū)別于重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能。

（四）動(dòng)能定理·機(jī)械能守恒定律

表4-3-8式中，上角標(biāo)e與i分別表示外力與內(nèi)力之功，一般內(nèi)力的功不等于零；上角標(biāo)a與n分別表示主動(dòng)力與約束力之功，如果約束是理想的，即，所以對(duì)于理想約束系統(tǒng)，在運(yùn)用動(dòng)能定理解題時(shí)，只需要分析主動(dòng)力。

能量是做功轉(zhuǎn)化的量度，能量變化一定對(duì)應(yīng)做功過(guò)程。動(dòng)能定理就是功能關(guān)系方程式。

機(jī)械能守恒是指過(guò)程中機(jī)械能（動(dòng)能+勢(shì)能之和）不變?；蛘哒f(shuō)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力不做功，或者只有保守力做功，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒。

（五）例題

[例4-3-9] 質(zhì)量為m的直桿ab可以自由地在固定套管中移動(dòng)，桿的下端a點(diǎn)擱在質(zhì)量為m、傾角為α的光滑楔塊c上，而楔塊c放在光滑的水平面上，如圖4-3-27所示。由于ab桿的壓力，楔塊沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，因而桿ab下降。試分別求出任一瞬時(shí)桿ab和楔塊c的加速度aab和ac。

[解] 加速度與速度相關(guān)，速度與能量相關(guān)

本題只需要求加速度，故可直接應(yīng)用微分形式的動(dòng)能定理，即

(1)對(duì)象：取直桿ab和楔塊c組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，并將其處于任一瞬時(shí)t的位置，如圖4-3-27所示。

(2)受力分析：系統(tǒng)的約束屬于理想約束（約束：水平面對(duì)系統(tǒng)的支持力，約束力做功為零），所受主動(dòng)力是桿的重力rng和楔塊的重力mg。

(3)運(yùn)動(dòng)分析：該兩物體均作平動(dòng)。設(shè)某瞬時(shí)直桿ab的速度為vab，楔塊的速度為vc，為了建立此兩速度間關(guān)系，對(duì)桿ab端點(diǎn)a應(yīng)用點(diǎn)的速度合成定理，取a點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，楔塊為動(dòng)系，則有

顯然，va=vab，ve=vc，因此，由圖4—3-27所示的速度平行四邊形可得

(4)動(dòng)能與功的計(jì)算。

寫(xiě)出任一瞬時(shí)的動(dòng)能，且可表示成vab的函數(shù)，即

系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中只有桿ab的重力作功，設(shè)在dt內(nèi)桿ab下降ds距離，則ab桿重力所作的元功為

(5)建立動(dòng)力學(xué)方程

將式(1)、式(2)代入形式動(dòng)能定理，得

注意到

于是上式可寫(xiě)為

由此可解得ab的加速度

將式

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得楔塊的加速度

[例4-3-10] 系統(tǒng)如圖4—3—28所示。已知：物塊m和滑輪a、b的重量均為p，且兩滑輪視為均質(zhì)圓盤(pán)，彈簧的剛性系數(shù)為k，繩重不計(jì)，繩與輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。當(dāng)m離開(kāi)地面h時(shí)，系統(tǒng)處于平衡。現(xiàn)給m以向下的初速度v_o，欲使其恰能到達(dá)地面。試問(wèn)v_o應(yīng)為多少?

[解] 彈簧彈力變化，不考慮過(guò)程，我們用能量——?jiǎng)幽芏ɡ斫鉀Q。

以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，物塊m作直線平動(dòng)（只有平動(dòng)動(dòng)能），滑輪a作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（只有轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能），b滑輪作平面運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能），求物塊m的初速度v_o，宜用積分形式的動(dòng)能定理求解。

系統(tǒng)中各物體的動(dòng)能是多少？這是解題的關(guān)鍵。b的動(dòng)能是最復(fù)雜的。

由題給條件知t2=0（末狀態(tài)的動(dòng)能=0），

式中 v_o為物體m的初速度，ω_a是滑輪a的初角速度，ω_b是滑輪b的初角速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)得

式(2)代人式(1)有

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力與彈性力做功。設(shè)為系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)彈簧的靜變形，則物塊由平衡位置達(dá)地面過(guò)程中作用于系統(tǒng)上作用力的功為

這里的關(guān)鍵是確定彈簧初末位置的形變：

為解，可取滑輪b為研究對(duì)象見(jiàn)圖4—3—28(b)，根據(jù)靜力平衡條件，知繩子拉力t=p,

故有

得

代入功的計(jì)算公式得

對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理：即

解得

方向如圖所示。

[例4-3-11] 綜合題：

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，定軸的動(dòng)力學(xué)方程，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

圖4-3-29所示，均質(zhì)圓盤(pán)可繞o軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)的質(zhì)量為m，半徑為r。在圓盤(pán)的質(zhì)心c上連接一剛性系數(shù)為k的水平彈簧，彈簧的另一端固定在a點(diǎn)，ca=2r為彈簧的原長(zhǎng)，圓盤(pán)在常力偶矩m的作用下，由最低位置無(wú)初速地繞o軸向上轉(zhuǎn)。試求圓盤(pán)到達(dá)最高位置時(shí)，軸承o的約束反力。

[解] 取圓盤(pán)為研究對(duì)象。

其在鉛垂平面內(nèi)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)圓盤(pán)的質(zhì)心轉(zhuǎn)到最高位置時(shí)，作用在其上的力有重力p、彈性力f、矩為m的力偶及軸承處的反力x₀與y₀，如圖4-3-29(b)所示。由題意知，欲求圓盤(pán)達(dá)最高位置時(shí)的反力x₀與y₀，必須先解出該瞬時(shí)圓盤(pán)質(zhì)心的加速度，故本題屬動(dòng)力學(xué)第一類。

首先由動(dòng)能定理求圓盤(pán)的角速度ω。因初始處于靜止，所以質(zhì)心由最低位置運(yùn)動(dòng)到最高位置時(shí)，具體動(dòng)能定理可寫(xiě)為1/2jw²：

關(guān)鍵轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的確定——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。轉(zhuǎn)軸從質(zhì)心——其他位置轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的確定

將此代入上式，得圓盤(pán)處于圖示第ⅱ位置時(shí)的角速度為

其次由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求ε，列出圓盤(pán)處于第ⅱ位置時(shí)的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

即

求出角加速度

最后，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求約束反力x₀與y₀，。按圖4—3—29(b)所示坐標(biāo)系，質(zhì)心加速度（圓周運(yùn)動(dòng)，加速度分為切向加速度和法向加速度，歸結(jié)到運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）的投影為

（加速度已知道，求力，直接）應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理列方程

解得質(zhì)心處于最高位置時(shí)軸承o處的反力為

如果求合力：（是合力，也就是計(jì)算正交的力矢量合成）

本題在求得ω后，為什么不用dω/dt求ε呢?因上面用動(dòng)能定理求到的角速度是質(zhì)心處于最高位置時(shí)，角速度的特定值，故不能求導(dǎo)（求導(dǎo)=0）。如求一般位置的ω，計(jì)算彈力的功很繁，因此，不用這種方法，而是用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求ε。所以用哪個(gè)方法，哪個(gè)定理，求什么量要根據(jù)題目的具體情況而定。

另外，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承約束反力，一般應(yīng)假定為兩個(gè)垂直分力x₀、y₀，不要無(wú)根據(jù)地丟掉一個(gè)分力。

解題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

1．計(jì)算功時(shí)除必須注意其正負(fù)號(hào)外，還必須注意內(nèi)力所作的功；在計(jì)算動(dòng)能時(shí)，必須用相應(yīng)的絕對(duì)速度或絕對(duì)角速度來(lái)表示。

2．若應(yīng)用動(dòng)能定理的微分形式求加速度時(shí)，需列出任意瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能及元功的表達(dá)式。