二、動量定理

動量定理是在動力學基本方程基礎上推到出來的。

動量定理建立了（研究對象）質(zhì)點或質(zhì)點系動量的改變與作用在其上的力的沖量之間的關系，由此還可以得動量守恒定律及質(zhì)心運動定理。

（一）基本概念

質(zhì)心，動量，沖量

1．質(zhì)心：（引入質(zhì)心，可以將（多個物體組成）質(zhì)點系當做質(zhì)點分析處理問題, 這符合學習的循序漸進，由已知到未知）

對質(zhì)量m＝∑mi質(zhì)點系，若其任一質(zhì)點對某一固定點的矢徑為ri，則由矢徑

所確定的一點c稱為此質(zhì)點系的質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心。

1) 在直角坐標系中，質(zhì)心位置矢量各分量的表達式為：

，，

2) 對于連續(xù)分布的物體，質(zhì)心的計算公式為：（微元的積分）

分量形式為（xyz軸上的積分形式）

，，

2．動量：是物體某瞬時機械運動的一種度量。以k表示。狀態(tài)量，矢量（方向性）

(1)質(zhì)點的動量：質(zhì)點的質(zhì)量m與其速度v的乘積，其表達式為

k=mv（與速度方向相同，瞬時量）

(2)質(zhì)點系的動量：各質(zhì)點動量的矢量和，其方向與質(zhì)心的速度v_c的方向相同，其表達式為

式中 m_i——質(zhì)點系中第i個質(zhì)點的質(zhì)量；

m＝∑m_i——質(zhì)點系的質(zhì)量；

v_i——質(zhì)點系中第i個質(zhì)點的速度；

v_c——質(zhì)點系質(zhì)心c的速度。

3．沖量：是力在某一段時間間隔內(nèi)作用效應的度量。以s表示。（過程量，矢量）

(1)常力的沖量：s=ft;（與力的方向相同）

（我們常會遇到） (2)變力的沖量：。（很小時間內(nèi)，將力看做是恒力）

（二）動量定理、質(zhì)心運動定理

動量定理與質(zhì)心運動定理的表達式如下表所示.

動量定理的微分形式——動力學方程的微分形式（本質(zhì)，宏觀低速物體m恒定）

微分形式：動量對時間的一階倒數(shù)是物體受到的合外力（質(zhì)點系間的內(nèi)力不起作用）；

積分形式：質(zhì)點在一段時間（t₁到t₂）動量的改變等于作用在質(zhì)點的合力在這段時間內(nèi)的沖量

（這里將狀態(tài)量動量和過程量ft聯(lián)系在一起：（計算中可以靈活應用轉(zhuǎn)換思想）過程ft清楚，可以求出過程變化前后兩個狀態(tài)的動量的差；若前后狀態(tài)清楚或者容易獲得，可以求出變力參與的過程量ft，常來解決碰撞問題）

表4—3—1的式中，為作用在質(zhì)點系上的所有外力的矢量和，即外力系的主矢；

為此外力系在時間(t₂—t₁)內(nèi)的沖量的矢量和；

k₂和k₁分別為t₁ ，t₂時刻的動量；

a_c和v_c分別為質(zhì)心的加速度和速度；

腳標x、y、z和τ、n、b分別表示相應物理量在直角坐標軸和自然軸上的投影。

對于多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系的運動，我們可以通過觀察質(zhì)心的運動把握物體的整體運動（水平上拋三角板；運動員跳水），所以利用動力學基本方程不難求出質(zhì)心運動定律，

質(zhì)心運動定律：研究對象是多個質(zhì)點組成的物體。質(zhì)心的運動代表了整個物體的運動情況。即對質(zhì)心應用牛頓第二定律，可以寫出質(zhì)心動力學定律和質(zhì)心的運動微分方程，可以解決兩類動力學問題。

可以看出：

質(zhì)心運動守恒定律：（即質(zhì)心不受力或者受力為零）質(zhì)點系不受外力作用（或者合外力等于零），保持靜止或者勻速直線運動。它的矢量形式和直角坐標系中的分量見表4-3-1.

（三）例題

[例4—3—3] 滑塊c的質(zhì)量m=19．6kg，在力p=866n的作用下沿傾角為β=30°的導桿ab運動。已知力p與導桿ab之間的夾角α=45°，滑塊與導桿間的動摩擦系數(shù)f’=0．2，初瞬時滑塊處于靜止。試求滑塊的速度增大到v=2m／s所需的時間。

[解]

由題可以看出，已經(jīng)物塊受力，和部分運動學量v等，求運動時間。對于這樣涉及到時間的動力學問題，我們優(yōu)先考慮動量定理。而不考慮動力學基本定律。

(1)選研究對象取滑塊c為研究對象。

(2)受力分析滑塊c上受重力mg、導桿對滑塊c的法向反力nc、摩擦力f及拉力p等四個力的作用。

(3)運動分析滑塊c只能沿導桿ab作直線運動。選取直角坐標bxy如圖4—3—10所示。

(4)應用動量定理的直角坐標形式，設經(jīng)歷t時間，則有

即：

動量是矢量，注意方向在坐標軸上投影的正負。

由式（2），得

從而，（再由摩擦定律可以求出）動摩擦力

代入式(1)，求得滑塊的速度從零增到v=2m／s所需的時間

[例4—3—4] （下面是關于質(zhì)點系的動力學問題）

曲柄oa質(zhì)量為m₁，長為r，以勻角速度ω繞o軸轉(zhuǎn)動，并帶動滑槽連桿以及與連桿固結的活塞b作往復運動。滑槽連桿和活塞的總質(zhì)量為m₂，作用于活塞上的已知力為q，如果不計摩擦，求作用于曲柄軸o上的最大水平反力。

【解】多個物體的組合，用質(zhì)心動力學方程求解

力與質(zhì)心加速度相關，對質(zhì)心加速度的求解可以通過以下兩種方法

1）已經(jīng)知道各質(zhì)點的加速度，直接應用質(zhì)心公式；2）質(zhì)心位移的二階倒數(shù)

該系統(tǒng)包括兩個物體，曲柄oa和滑槽連桿及固結在一起的活塞b，只考慮水平方向的運動。先寫出質(zhì)點系的質(zhì)心在x方向的坐標公式，再應用質(zhì)心運動定理求解。

(1)對象取曲柄oa、滑槽及活塞b所組成的系統(tǒng)為研究對象。（質(zhì)點系，對該質(zhì)點系進行受力分析。）

(2)受力分析作用于系統(tǒng)的水平方向上外力有曲柄軸o處的水平反力x₀及作用于活塞上的水平力q。

(3)運動分析由于組成質(zhì)點系的物體為剛體，而且各部分運動顯為已知，因此用質(zhì)心運動定理比較方便。取坐標系oxy如圖4—3—11所示，設任意t瞬時，曲柄處于x軸正向，則在水平方向系統(tǒng)的質(zhì)心坐標為

(4)應用質(zhì)心運動定理求解

質(zhì)心求出來，對他求二次導數(shù)，得到質(zhì)心運動的加速度，求出受力。

由質(zhì)心運動定理可得

則有

將式(1)對時間求兩階導數(shù)，并代入式(2)得，

當ωt=π時，x₀達到最大值，為

[例4-3-5] 小車a重q，下懸一擺如圖4—3—12所示。擺按規(guī)律φ=φ₀sinkt擺動，設擺錘b重為p，擺長為j，擺桿重量及各處摩擦均忽略不計。若運動開始時系統(tǒng)的質(zhì)心速度等于零，試求小車的運動方程。

[解] 1. 研究對象：以小車和擺錘所組成的質(zhì)點系為研究對象。（擺桿重量及各處摩擦均忽略不計，他們水平方向不受外力作用），所以系統(tǒng)水平方向質(zhì)心運動守恒。

2. 受力分析：作用于該質(zhì)點系上的外力有重力p、q和軌道的鉛垂反力n。選取坐標oxy如圖所示，y軸通過系統(tǒng)的質(zhì)心c。

3. 分析運動，選擇坐標，列動力學方程。

由于作用于該質(zhì)點系上的所有外力在x方向上的投影的代數(shù)和等于零，因此質(zhì)點系的質(zhì)心的運動沿c方向守恒，即v_cx=常量。又因系統(tǒng)原來是靜止的，所以v_cx=dx_c/dt=0,xc=常量，那么發(fā)生運動后仍然是靜止的。因此質(zhì)點系的質(zhì)心的水平位置應保持不變，由于y軸通過質(zhì)心，故x_c=0。當擺錘至任意位置時，質(zhì)點系質(zhì)心坐標為

既

由圖示坐標關系得

將式(3)代入式(2)得

式(4)即為小車的運動方程。

以上三個例題分別對知識點動量定理，質(zhì)心運動定理和質(zhì)心運動守恒的應用進行了詳解。大家可以針對性的看看，達到鞏固知識的目的。

（四）解題注意事項：

1．由于動量定理與質(zhì)心運動定理均由牛頓定律導得，故定理中的運動量(速度、加速度等)必須是相對慣性參考系的。

2．受力圖中只需畫出外力，不圖示內(nèi)力，并根據(jù)系統(tǒng)所受的外力來判別系統(tǒng)的動量或質(zhì)心的運動是否守恒。（質(zhì)點系的內(nèi)力遠大于外力：碰撞，爆炸時，可以用質(zhì)點系的動量守恒定律）

3．計算多剛體系統(tǒng)的動量時，可用關系式

式中 v_c為系統(tǒng)質(zhì)心的速度；vi_c為i剛體的質(zhì)心速度。具體計算用它的投影式。

4．應用質(zhì)心運動定理時，可用關系式

求解系統(tǒng)質(zhì)心的加速度，也可以將質(zhì)心矢徑求兩階導數(shù)得到。一般，當多剛體系統(tǒng)的各質(zhì)心加速度容易求得時用前者較方便。

例：剎車時，制動的原因是什么：

（a）制動閘和輪子間有摩擦力的原因；

（b）地面對輪子摩擦力的作用；

（c）制動閘和輪子間的摩擦力和地面對輪子摩擦力共同作用的結果；

（d）不確定

三、動量矩定理

矩，與轉(zhuǎn)動有關。質(zhì)點或質(zhì)點系動量矩定理建立了質(zhì)點或質(zhì)點系的動量矩的變化與作用于其上的外力系主矩之間的關系，可用以解決動力學兩類問題。

（一）動量矩的概念

動量矩是某瞬時，質(zhì)點或質(zhì)點系繞某點或某軸轉(zhuǎn)動時機械運動強弱的一種度量。其數(shù)學表達式分述如下。

1.質(zhì)點對固定點o的動量矩

（類比力矩的定義m_o(f)=r×f）

式中 r為質(zhì)點對定點o的矢徑。動量矩矢量是定位矢量，應畫在o點。其單位是kg·㎡／s或n·m·s。

適用于慣性參考系。

2．質(zhì)點系對固定點o的動量矩

3. 質(zhì)點系對過定點o的正交坐標系各軸的動量矩

4，定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸c的動量矩（剛體：質(zhì)點系，每個質(zhì)點對定軸的動量矩之和，化簡為下式）

，轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積

對比質(zhì)點的動力學方程：f=ma

（二）轉(zhuǎn)動慣量及其平行軸定理

1．轉(zhuǎn)動慣量

剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。（質(zhì)量是質(zhì)點慣性的量度，轉(zhuǎn)動慣量是質(zhì)點系轉(zhuǎn)動時慣性的量度）其表達式如表4-3-2所列。

并與剛體的質(zhì)量及質(zhì)量分布有關。其單位是kg·㎡。

回轉(zhuǎn)半徑（等效半徑，質(zhì)心——質(zhì)點系；回轉(zhuǎn)半徑，剛體轉(zhuǎn)動的質(zhì)心。盡管在此說法不嚴格）并不是剛體上某個實際尺寸，而是設想剛體的質(zhì)量集中在與z軸相距為ρz的點上，此集中質(zhì)量對z軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量相等。

2.轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理

式中，z軸通過質(zhì)心c且與z’軸平行，m是剛體的質(zhì)量，d為z’與z軸之間的距離。

（三）動量矩定理

質(zhì)點系動量矩定理的表達式隨矩心不同而有所改變，具體列于表4-3-3。

表4-3-3中h_cr是在相對隨質(zhì)心平動坐標系的運動中，質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩；∑mc是作用在質(zhì)點系上所有外力對質(zhì)心的主矩。

動量矩和力矩的矢量形式關系與動量和力的關系等同，僅是對象剛體和質(zhì)點。大家可以對比記憶。

（四）剛體平面運動微分方程

式中 jc是剛體對通過質(zhì)心且與運動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

（五）例題

[例4-3-6] 一軟繩跨在滑輪上，其兩端一為重w的人，一為與人等重的物體。開始時，人與物體均靜止不動。令人沿著繩子向上，問人能否上升?物體將上升還足下降?設滑輪與繩子的質(zhì)量以及軸承中的摩擦力均可略去不計。

[解]

1．對象：選整個系統(tǒng)為研究對象。

2．受力分析：作用于此系統(tǒng)上的外力有軸承反力、重力w，顯然這些力對軸o的矩之和始終為零。

即

故系統(tǒng)對z軸的動量矩保持守恒。

3．運動分析并計算動量矩

運動開始時系統(tǒng)中所有物體處于靜止，系統(tǒng)的動量矩為

h_zl=0

令人沿著繩子向上，因此，必然要引起重物上升，才能保持系統(tǒng)對o軸動量矩為零。設某一瞬時，人相對于繩子的速度為vr，而重物上升的速度為v。注意到重物上升的速度就是繩子中下運動的速度。

動量矩是相對于慣性參考系，所以速度都是絕對速度。

因此，人的絕對速度va=vr-v0。設滑輪的半徑為r，則此時系統(tǒng)的動量矩為

4．應用動量矩定理求解

由于系統(tǒng)對c軸動量矩守恒，故有

即

解得

同時得到

由此可見，人與重物以相同的速度上升；并且看到，在任何瞬時，重物上升的速度總是等于人相對于繩子的速度的一半。

[例4—3—7] 一飛輪由直流電機帶動，已知電機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩m與其角速度的關系為：m=m1(1－ω/ω1)。式中，ml表示電機的起動轉(zhuǎn)矩，w1叫表示電機無負載時空轉(zhuǎn)角速度，且m1與ω1都是已知量。設飛輪對o軸的轉(zhuǎn)動慣量為j₀，作用在飛輪上的阻力矩mf為常量，如圖4—3—21所示。當m>m_f時，飛輪開始起動，求角速度o隨時間t的變化規(guī)律。