機(jī)械波

機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播;一維簡諧波表達(dá)式;描述波的特征量;陣面, 波前,波線;波的能量、能流、能流密度;波的衍射;波的干涉;駐 波;自由端反射與固定端反射;聲波;聲強(qiáng)級;多普勒效應(yīng)。

一、基本內(nèi)容

(一)機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播

    1、產(chǎn)生機(jī)械波的條件:(1)波 ——產(chǎn)生振動。(2)彈性媒質(zhì)——傳播振動。

2、波的傳播:注意:(1)波動中每一個質(zhì)點(diǎn)均在其平衡位置附近振動,不隨波逐流,傳播的是振動狀態(tài)。

    2介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動方向與波的傳播方向是兩個不同的概念,兩者方向不一定一致。

    3)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動是波源振動的重復(fù),在波的傳播方向上,質(zhì)點(diǎn)的相位依次比波源落后。

    3、波的分類

按照質(zhì)元振動方向和波的傳播方向間的關(guān)系,波分為兩類:

1)如果質(zhì)元的振動方向與波的傳播方向相互垂直,這種波稱為橫波。例如拉緊的繩子,使其一端振動,那么就會在繩子上形成橫波。

2)如果質(zhì)元的振動方向與波的傳播方向相平行,這種波稱為縱波。例如空氣中的聲波就是縱波。

(二)波的幾何描述

波陣面:在波動過程中,把振動相位相同的點(diǎn)連成的面,簡稱波面。也稱波陣面,等相面。

波前:在任何時刻,波面有無數(shù)多個,最前方的波面即是波前。波前只有一個。

波線:沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。

在各向同性介質(zhì)中,波線與波面是垂直的。引入波面的概念后,可以按照波面對波進(jìn)行分類,如圖一所示。例如波前為球面的波,稱為球面波; 波前為平面的波,稱為平面波;波前為柱面的波,稱為柱面波。

圖一

    (三)描述波的物理量及其相互聯(lián)系

    1、描述波動的物理量(分為兩類,)

    1)描述介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振動的物理量:振幅、周期頻率、相位、初相、位移、速度(振動)和加速度

    2)描述波傳播的物理量

波速 u :振動狀態(tài)傳播的速度,又叫相速。速度的大小由媒質(zhì)的性質(zhì)決定,與波源情況無關(guān)。

例如,標(biāo)準(zhǔn)情況下,不管是高頻聲音還是低頻聲音,在空氣中傳播的速度都是340m/s.

    周期t:一個完整的波通過波線上的一點(diǎn)所需的時間。顯然,也是該點(diǎn)完成一次全振動的時間,所以波的周期等于振動周期。

    頻率(:單位時間通過波線上一點(diǎn)的完整的波形數(shù)目,即,波的頻率等于振動頻率,由波源決定,和介質(zhì)無關(guān)。

波長l:波線上相鄰的,振動狀態(tài)相同的兩質(zhì)元間的距離。它由波源和媒質(zhì)共同決定。

這四個量之間的關(guān)系,可以這樣去記憶,在一個周期t內(nèi),波前進(jìn)了一個波長l的距離,所以波速與波長以及周期的關(guān)系為u=l/t, 考慮到 ,因而還有u=lν。

固體內(nèi)的橫波和縱波的傳播速度分別為

橫波: 縱波: 其中g為固體的切變模量,y為固體的楊氏彈性模量;ρ為固體的密度。

液體和氣體中,縱波波速為:,其中b為容變彈性模量。

    (四)一維簡諧行波的表達(dá)式

   1、沿x軸正向傳播的平面簡諧行波

設(shè)無吸收均勻彈性介質(zhì)中傳播的機(jī)械波波線上o點(diǎn)的振動規(guī)律已知,(注意:該點(diǎn)不一定是波源),取其為坐標(biāo)原點(diǎn)。

圖二

    x質(zhì)點(diǎn)在波線上的平衡位置的坐標(biāo)。

    y質(zhì)點(diǎn)振動時對平衡位置的位移。

設(shè)o點(diǎn)的振動方程為                 ,表達(dá)式中a為振幅,描述質(zhì)元振動過程中的最大位移值,是一個正值。ω為振動的角頻率;φo點(diǎn)振動初相位。

振動由op所需的時間為:

   

    t 時刻,p點(diǎn)的振動狀態(tài)是o點(diǎn)在 時的狀態(tài),

   p 點(diǎn)在任一時刻 t的位移應(yīng)與 o 點(diǎn)在 時刻的位移相等:   

   

         可以表示波線上任意點(diǎn) 任意時刻的振動情況,為沿x軸正向傳播的平面簡諧行波的方程。

注意:

(1)      x一定時,(令x = x1),則 y 只是t的函數(shù),波動方程變?yōu)椋?/span>

。這是一個振動方程,給出x1點(diǎn)的振動位移隨時間的變化,x1點(diǎn)的振幅為a,初相位為。顯然,不同點(diǎn)的振動初相位不同。

(1)      t一定時,(t=t1), y只是x的函數(shù),波動方程變?yōu)椋?/span>

       ,該式描述的是t1時刻波線上任一質(zhì)元的位移,如圖所示。

 

(2)      當(dāng)x t都變化時,波動方程表示在波的傳播方向所有質(zhì)元各個時刻的位置。在時間內(nèi),振動狀態(tài)將傳播的距離,波形將向前平移的距離,平移速度為u, 表達(dá)式描述的是跑動的波,稱為行波。

    

(3)      在波動過程中,波線上兩點(diǎn)x1x2兩處質(zhì)元振動的相位差為

               

2、     沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧行波

      

   

   

     【例】一平面簡諧波的表達(dá)式為  則此波的波長為:

      a π/ 100             b π/ 200              c π/ 50                 d 50

     答案 a

     思路:此類題目,由一個簡諧波的表達(dá)式推算出波長、頻率、周期、振幅或者其他相關(guān)各量的通用方法就是比較表達(dá)式與標(biāo)準(zhǔn)簡諧波表達(dá)式,找出對應(yīng)的系數(shù)即可。

     分析:標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式展開為比較可知u以及ω的值,再利用各物理之間的關(guān)系,便可計(jì)算其他的量。

(五)波的能量

   1、體積元的能量、能量密度

波傳到介質(zhì)中某處,該處體積元開始振動,具有動能dek,同時由于形變,也具有勢能dep,波的能量就是指的這些勢能與動能之和。兩者大小相同,變化同步,某一質(zhì)元其動能達(dá)到最大值的時候,勢能也是最大的。

6

具體形式為:

    6

    式中為介質(zhì)密度,dv為體元的體積

體積元的總機(jī)械能:

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上式表明,體積元中的總能量隨時間做周期性變化,說明任一體積元都在不斷的吸收和放出能量,它們是傳播能量的載體。因此,波的傳播是能量傳播的一種形式。

波的能量和振動能量的區(qū)別

    ①波傳播過程中任一體積元,其動能和勢能隨時間同相變化,它們同時達(dá)到最大,同時達(dá)到最?。恢C振系統(tǒng)的動能和勢能相位差,動能達(dá)到最大時,勢能最小為零,勢能達(dá)到最大時,動能最小為零。

②波的傳播過程中任一體積元的總能量隨時間做周期性的變化;諧振系統(tǒng)的總能量是一恒量。 

介質(zhì)中單位體積內(nèi)所存儲的能量稱為能量密度,即

         8

    平均能量密度 (對時間取平均)

                                                           

2、能流與能流密度

    平均能流——單位時間內(nèi)通過某一面積的平均能量,稱為通過該面積的平均能流。也稱為波的功率,用表示為9

能流密度 (波的強(qiáng)度) ——通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度,通常稱為能流密度或波的強(qiáng)度。10

顯然,平均能流密度與波的振幅、圓頻率以及波速均有關(guān),單位是w/m2

波的疊加原理

當(dāng)幾列波在介質(zhì)中傳播時,在相遇的區(qū)域中,他們依然獨(dú)立的保持著各自原有的特性,(包括頻率、波長、振幅、振動方向等),按照原來的傳播方向繼續(xù)前進(jìn),猶如沒有遇到其他波一樣。在相遇區(qū)域內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)的振動位移,將是各列波單獨(dú)存在時的振動位移之和。

(六)波的衍射、惠更斯原理

介質(zhì)中波陣面(波前)上的每個點(diǎn),都可看成是產(chǎn)生球面子波的波源;在其后的任一時刻,這些子波的包絡(luò)面構(gòu)成新的波陣面。

惠更斯原理能很好的解釋衍射現(xiàn)象:波在傳播過程中,如果遇到障礙物時,波線發(fā)生彎曲并繞過障礙物的現(xiàn)象。  

相對于波長而言,障礙物越大,衍射現(xiàn)象越不明顯,障礙物越小,衍射現(xiàn)象越明顯。