5 ．全概率公式   如果事件 a₁ ， … ，a_n構(gòu)成一個完備事件組（即 a₁ ， … ， a_n兩兩互不相容， a₁ + …＋ a _n, = u ，且p（ a _i ) > 0, i = 1 ， … ，n），那么

 

6 ．貝葉斯公式 （或逆概率公式）  如果事件 a₁ ， … a _n構(gòu)成一個完備事件組，那么，當 p （ b ) > 0 時，

 

古典概型

如果試驗只可能有有限個（記作n ）不同的試驗結(jié)果，且這些不同結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性,那么隨機事件 a 的概率為

其中m為 a 所包含的不同的試驗結(jié)果的個數(shù)。這個概率稱為古典概率；用這個方法計算概率的數(shù)學模型稱為古典概型。

例題

1．設p（ a ) = 0 . 2 ，p（ b ) = 0 . 5 。在下列三種情形下，分別求p （ a + b ) : （ 1 ) a 與 b 互不相容； （ 2 ) a 與 b 有包含關(guān)系； （ 3 ) a 與 b 相互獨立。

【解】 （ 1 ）由ab = v 推得p（ a + b ) ＝p（ a ) ＋p（ b ) = 0 . 2 + 0 . 5 = 0 . 7 .

（ 2 ）由于p（ b ) ＞p（ a ) ，因此 a  b 。由 a + b = b 推得p（ a + b ) ＝p（ b ) = 0 . 5 .

（ 3 ）由于 a 與 b 相互獨立，因此p （ab)＝p（ a ）p（ b ) = 0 . 2 ×0 . 5 = 0 . 1 。于是，p（ a + b ) ＝p（ a ) + p （ b ）- p（ab ）＝ 0 . 2 + 0 . 5 - 01 = 0 . 6 .

 

2．兩臺機床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)次品的概率是 0.04 ，第二臺出現(xiàn)次品的概率是 0 . 02 。加工出來的零件放在一起，第一臺加工的零件占 25 ％。（ 1 ）從這批零件中任意取出一個，求它是次品的概率； （ 2 ）從這批零件中任意取出一個，經(jīng)檢查它是次品。求它是由第二臺機床加工的概率。

【 解 】  設事件 a _i表示“任意取出的零件是由第 i 臺機床加工的” , i = 1 , 2 ；事件 b 表示“任意取出的零件是次品”。由題設知道，p（ a_l ) = 0 . 25 ，p（ a₂ ) = 1 - p（ a₁) = 0 . 75 ；且p（ b a ₁ ) = 0 . 04 , p （ b  a₂ ) = 0 . 02 。

 （ 1 ）由全概率公式算得

p （ b ) = 0 . 04x0 . 25 + 0 . 02x0 . 75 = 0 . 025

（ 2 ）由貝葉斯公式算得

 

3．口袋里裝有 12 只外形相同的球，其中 5 只是紅球， 7 只是白球。從口袋中任意取出 2 只球。求它們都是紅球的概率。

【 解 】  設事件 a 表示“任意取出 2 個球都是紅球”。從 12 只球中任取 2 只，共有種不同的結(jié)果，即 n ==66 。從 12 只球中任意取出 2 個球，它們都是紅球，共有 種不同的結(jié)果，即 m =＝ 10 。因此

4． 在 1 , 2 ， … ， 100 中任取一個數(shù)。（ 1 ）求它既能被 2 整除又能被 5 整除的概率； （ 2 ）求它能被 2 整除或能被 5 整除的概率。

【 解 】  任取一個數(shù)，“它能被 2 整除”記作事件 a , “它能被 5 整除”記作事件 b 。

（ 1 ）事件ab表示“既能被 2 整除又能被 5 整除”。滿足這樣條件的數(shù)共 10 個，即m= 10 ，于是，由n= 100 推得，p （ ab )= =0.1 。

 （ 2 ）事件 a + b 表示“能被 2 整除或能被 5 整除”。能被 2 整除的數(shù)共 50 個，能被 5 整除的數(shù)共 20 個。由古典概率計算公式得到

按加法公式，并利用 p （ab） = 0 . 1 可得

p （ a 十 b ) = 0 . 5 + 0 . 2 一 0 . 1 = 0 . 6

由于p（ab） = p （ a ）p（ b ) ，因此事件 a 與 b 相互獨立。