第六節(jié)   線性代數(shù)

 

一、n 階行列式

(一)n階行列式的定義

設(shè)有n2個(gè)數(shù)aij i = 1 , 2 ,n j 1 , 2 , ,n),記號(hào)

稱為n階行列式。行列式( 1-8-1 )也簡(jiǎn)記作 dn或△(aij

mij稱為 dn的對(duì)應(yīng)于元素 aij 的余子式。令

aij稱為 dn的對(duì)應(yīng)于元素 aij 的代數(shù)余子式。

每個(gè)n階行列式都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)稱為該行列式的值。

記號(hào)( 1-8-1 )既表示行列式,又表示行列式的值。

行列式的值用數(shù)學(xué)歸納法定義為

按此定義.即有

1 階行列式

2 階行列式

3 階行列式

計(jì)算 2 階和 3 階行列式的值時(shí),有“對(duì)角線法則” :

2 階行列式時(shí),

即把 a11 a 22的連線稱主對(duì)角線, a12 a21 的連線稱次對(duì)角線。主對(duì)角線上各元素的乘積冠, + ”號(hào),次對(duì)角線上各元素的乘積冠“一”號(hào),然后作代數(shù)和,所得結(jié)果即為 2 階行列式的值。

3 階行列式時(shí),

主對(duì)角線上各元素的乘積冠, + ”號(hào),次對(duì)角線上各元素的乘積冠“一”號(hào),然后作代數(shù)和,所得結(jié)果即為3階行列式的值。

(二)行列式的性質(zhì)

2 .互換行列式中的兩行(列),則行列式的值變號(hào)。

3 .行列式中如果有兩行(列)的元素相同,則行列式的值為 0。

4 .以數(shù) k 乘行列式的某一行(列)的所有元素,等于 k 乘這個(gè)行列式。

5 . 行列式中如果有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例,則行列式的值為 0。

6 .如果行列式中某行(列)的元素都表為兩數(shù)之和,例如第 k 行的元素都是兩數(shù)之和:

d 等于下列兩個(gè)行列式之和:

7 .把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上,行列式的值不變。例如以數(shù) k 乘第 i 行加到第 j 行上,有

8 .行列式中任一行(列)的元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值。

式( 1-82 )稱為行列式按第 i 行展開公式和按第 j 列展開公式。

9 .行列式中任一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0。即

 

(三)計(jì)算 2 階和 3 階行列式的值常用對(duì)角線法則,計(jì)算 n 階(n4 )行列式的值常用下述兩種方法:

1 .應(yīng)用性質(zhì) 7 ,把主對(duì)角線以下的元素全化為 0 ,成為上三角行列式

它的值等于 b11b22···bnn

2 .選定一行(列),把該行(列)除一個(gè)非零元素外其余,n-1 個(gè)元素全化為0,然后按這一行(列)展開[公式(1-8-2],就把行列式降為n-1階行列式。

(四)例題

 

二、矩陣

(一)矩陣概念

m×n個(gè)數(shù)排成 m 行,n列的數(shù)表

稱為m×n矩陣,數(shù)aij稱為矩陣 a 的第 i 行第j列元素

當(dāng) m = n時(shí), a 稱為 n 階方陣;當(dāng)m 1 時(shí), a 稱為行矩陣;當(dāng)n = 1 時(shí), a 稱為列矩陣。

元素全為0的矩陣稱零矩陣,記作 o 。注意不同型的零矩陣是不相等的。

 

(二)矩陣的運(yùn)算

1 .矩陣的加法設(shè) a = ( aij )與 b = ( b ij )是同型矩陣,矩陣 a b 的和記作 a + b ,規(guī)定

矩陣相加滿足:

2 .?dāng)?shù)乘矩陣

數(shù)乘矩陣滿足:

矩陣相加及數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。

矩陣相乘不滿足交換律,即一般abba。還要注意兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。例如

主對(duì)角線上的元素都是 1 ,其他元素都是 0 的方陣稱為單位陣,記作 e,階單位陣也記作 en。單位陣滿足:

4 .方陣的冪設(shè) a 為,,階方陣,規(guī)定

方陣的冪滿足:

矩陣的轉(zhuǎn)置滿足: ( at ) t = a ; ( a + b ) t = at + bt ; (λa t=λa t ; abt = btat 。

若方陣 a = ( a ij )滿足 (at ) = a ,則稱 a 為對(duì)稱陣。對(duì)稱陣的元素按主對(duì)角線對(duì)稱相等。即 aij aji。

6 .方陣的行列式由 n 階方陣 a 的元素所構(gòu)成的 n 階行列式叫做方陣 a 的行列式

記作| a| deta

|a|=0 時(shí)稱 a 為奇異(方)陣,|a|0 時(shí)稱 a 為非奇異(方)陣。注意長(zhǎng)方陣沒有行列式。