【 例 1- 4-3 】  判別級數(shù)的收斂性。

【 解 】   所給級數(shù)為正項級數(shù)，因為

根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂。

     【 例 1-4 – 4】   數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列有界是該級數(shù)收斂的

（ a ）充分條件。            

（ b ）必要條件。

（ c ）充分必要條件。       

（ d ）既非充分又非必要條件。

【解 】 按數(shù)項級數(shù)收斂的定義，級數(shù)收斂即級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，而部分和數(shù)列有界是部分和數(shù)列有極限的必要條件，故選（ b ）。

注意對正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界是級數(shù)收斂的充分必要條件，而對一般的非正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界僅是級數(shù)收斂的必要條件，而不是充分條件。

【 例1-4 -5】級數(shù)

的收斂性是

（ a ）發(fā)散     

（ b ）條件收斂     

（ c ）絕對收斂     

（ d ）無法判定

【 解 】 按萊布尼茲判別法知，級數(shù)收斂；級數(shù)是 p -級數(shù)的情形，p < 1 ，故級數(shù)發(fā)散，因此應選（ b ）。

【 例1-4 -6】判別級數(shù)

的收斂性。

【 解 】 所給級數(shù)是任意項級數(shù)，因為

而級數(shù)是收斂的（p-級數(shù)，p = 4 ）。根據(jù)比較審斂法知，級數(shù)收斂，即級數(shù)絕對收斂，從而級數(shù)收斂。

 

【 例 1 - 4 -7 】判別級數(shù)的收斂性。

【 解 】 所給級數(shù)為任意項級數(shù)，因為

根據(jù)任意項級數(shù)審斂法（ 3 ）知，所給級數(shù)發(fā)散。

 

［例 1 -4 - 8 ］下列各選項正確的是

二、冪級數(shù)泰勒級數(shù)

（一）冪級數(shù)的概念和性質

1 ．冪級數(shù)的概念

稱為冪級數(shù)，令，可化為

2 ．冪級數(shù)的收斂性

若級數(shù)當時收斂，則對適合的一切x，級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)當時發(fā)散，則對適合的一切 x ，級數(shù)發(fā)散。

3 ．冪級數(shù)的收斂半徑及其求法

若冪級數(shù)在某些點收斂，在某些點發(fā)散，則必存在唯一的正數(shù) r ，使當時，級數(shù)絕對收斂，當時，級數(shù)發(fā)散。這個 r 稱為冪級數(shù)的收斂半徑；若冪級數(shù)只在 x = 0 處收斂，則規(guī)定收斂半徑 r = 0 ；若冪級數(shù)對一切 x 都收斂，則規(guī)定收斂半徑

對冪級數(shù)若

則它的收斂半徑

4 ．冪級數(shù)的性質

若冪級數(shù)的收斂半徑為 r ，則稱開區(qū)間（- r , r ）為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，"

根據(jù)冪級數(shù)在 x ＝± r 處的收斂情況，可以決定冪級數(shù)的收斂域（即收斂點的全體）是四個區(qū)間：（- r , r ）、［- r , r ）、（- r , r ］、[- r , r ］之一。

冪級數(shù)具有以下性質：

（ l ）冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)；

（ 2 ）冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內可導，且有逐項求導、逐項積分公式

逐項求導、逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。

（二）泰勒級數(shù)

1 ．泰勒級數(shù)的概念

若 f （ x ）在點 x₀處具有各階導數(shù)，則冪級數(shù)稱為函數(shù)f （ x ）在點 x₀處的泰勒級數(shù)，特別當x₀ = 0 時，級數(shù)稱為函數(shù) f （ a ）的麥克勞林級數(shù)。

2 ．函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件

設函數(shù) f （x）在點 x₀的某鄰域 u （ x₀）內具有各階導數(shù)，則 f （ x）在該鄰域內能展開成泰勒級數(shù)（即 f （ x ）的泰勒級數(shù)收斂于 f （ x ）本身）的充分必要條件是 f （ x ） 的泰勒公式中的余項

（其中）

3 ．常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式

【例 l - 4 - 9 】 冪級數(shù)的收斂域是

（ a ） （- 1 ,l ）    

（ b ） （- l , 1 ）     

（ c ） （- l , l ）     

（ d ） （- l , 1 ）

【 解 】 易知級數(shù)收斂半徑 r = l ，當 x ＝- 1 時，級數(shù)，當x = 1時，級數(shù)收斂，故應選（ d ）。

 

（ a ）條件收斂  

（ b ）絕對收斂

（ c ）發(fā)散

（ d ）收斂性不能確定

【 解 】 由的結構知其收斂區(qū)間的中心為x = 1，已知 x = -1為此級數(shù)的一個收斂點，設其收斂半徑為 r ，則，而 x = 2 與收斂區(qū)間中心x＝ 1的距離為 1 , 1 < r ，由冪級數(shù)的收斂性（阿貝爾定理）知，此級數(shù)在 x = 2 處絕對收斂，故應選（ b ）。

【 例 1 - 4 - 11 】利用逐項求導法求級數(shù)

的和函數(shù)。

【 解 】冪級數(shù)的和函數(shù)是即

利用逐項求導公式，得

 

【 例 l - 4 – 12】將函數(shù)展開成（x一 3 ）的冪級數(shù)。

【 解 】 因為

而

因此

 

【 例 1 · 4 · 13】 將函數(shù)

展開成 x 的冪級數(shù)。

［解］先將有理分式分解成部分分式之和：