第四節(jié)   無窮級數(shù)

 

一、數(shù)項級數(shù)

（一）常數(shù)項級數(shù)的概念和性質

1 ．常數(shù)項級數(shù)的概念

數(shù)列 u _n（ n = 1 , 2 , …）的各項依次相加的表達式稱為無窮級數(shù)，第n項u_n稱為級數(shù)的一般項或通項，前n項之和 s_n =稱為級數(shù)的部分和。若 = s存在．則稱級數(shù)收斂，并稱級數(shù)的和為s ; 若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散 。 當級數(shù)收斂時， r_n =稱為級數(shù)的余項，有= 0 。

2 ．常數(shù)項級數(shù)的性質

（ 1 ）若 = s,則= k=ks （ k為常數(shù))；

（ 2 ）若=s，則v_n =t, 則 （u_nv_n) =v_n =s  t;

（ 3 ）收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂于原來的和；

（ 4 ）在級數(shù)中改變有限項，不影響其收斂性；

（ 5 ）若級數(shù)收斂，則＝ 0；反之，不一定成立。

 

3 ．典型級數(shù)

（ l ）幾何級數(shù)aq^n-1，當q  < 1 時，收斂于，當q  1 時，級數(shù)發(fā)散；

（ 2 ） p-級數(shù)（p  > 0 ) ，當p > 1 時，級數(shù)收斂，當0＜p 1 時，級數(shù)發(fā)散.

（二）常數(shù)項級數(shù)的審斂法

 1 ．正項級數(shù)審斂法

若級數(shù)，其中u_n0 （ n=1 , 2 ， … ），則稱級數(shù)為正項級數(shù)。

（ l ）收斂準則：正項級羚收斂的充分必要條件是其部分和有界。

（ 2 ）比較審斂法：設、v_n為正項級數(shù)，對某個 n > 0 ，當n＞ n 時， 0u_ncv_n（ c > 0 為常數(shù)）。若v_n收斂，則收斂；若發(fā)散，則v_n發(fā)散。

比較審斂法的極限形式：若＝l（v_n0 ) ，則當0＜ l ＜十 時，和v_n同時收斂或同時發(fā)散。

（ 3 ）比值審斂法：設為正項級數(shù)，若  = l ，則當l < l 時，級數(shù)收斂；當 l > 1 或 l = +時，級數(shù)發(fā)散；當 l = 1 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

（ 4) 根值審斂法：設為正項級數(shù)，若= l,則當l < l 時，級數(shù)收斂;當 l > 1 或 l = +  時，級數(shù)發(fā)散；當 l = 1 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

2 ．任意項級數(shù)審斂法

若級數(shù)，其中u_n（n = 1 , 2 ， … ）為任意實數(shù)，則稱級數(shù)為任意項級數(shù)。若級數(shù)的各項正負交替出現(xiàn)，即可寫作（-1）ⁿu_n（u_n > 0 ）或（- l ） ^{n+ l} u_n（u_n＞ 0 ） ，則稱級數(shù)為交錯級數(shù)。

若級數(shù)為任意項級數(shù)，而級數(shù)u_n收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若收斂，而u_n發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂。

（ l ）萊布尼茲判別法：若交錯級數(shù)（- l ） ⁿ u _n（ u _n＞ 0 ）滿足： 1 ）u _n u _n+1（n＝ 1 , 2 … ） ; 2 ）  u _n = 0 ，則級數(shù)（- 1 ）ⁿu_n收斂，且有余項r_n u _n+1（n＝ 1 , 2, …）

（ 2 ）若任意項級數(shù)絕對收斂，則該級數(shù)收斂。

（ 3 ）設為任意項級數(shù)，若 = l （或＝ l ） ，則當l < 1 時，級數(shù)絕對收斂；當 l > 1 或 l = + 時，級數(shù)發(fā)散；當 l = 1 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

（三）例題

【 例 1-4- l 】  判別級數(shù)sin  的收斂性。

【解】  級數(shù)  sin 為正項級數(shù)，因為

而級數(shù)發(fā)散（p-級數(shù)，p=1的情形，，根據(jù)比較審斂法的極限形式知此級數(shù)發(fā)散 .

 

【 例 1 -4 - 2 】 判別級數(shù)

的收斂性。

【 解 】 所給級數(shù)為正項級數(shù)，因為

根據(jù)比值審斂法知所給級數(shù)發(fā)散。