6 ．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則

若函數(shù)y = y （ x ）由參數(shù)方程

所確定，且 x ＝φ（ t ）、 y ＝ψ（ t ）二階可導(dǎo)，φ^’（ t ）≠0，則

 

 

【例 1-2-23】  求（ sinx )⁽ⁿ⁾、( cosx )⁽ⁿ⁾。

【解】  y =sinx

一般地，可得（ sinx ) ⁽ⁿ⁾ = sin

用類似方法，可得

 

四、微分及其應(yīng)用

（一）微分概念 

函數(shù) y = f（x）勸在點(diǎn) x 的微分稱為函數(shù) y = f ( x ）的微分，記作 dy 或 df ( x)。

2 ．函數(shù)可微分的充分必要條件

函數(shù)y = f（x）在點(diǎn) x₀ 可微分的充分必要條件是 f ( x ）在點(diǎn) x₀ 可導(dǎo)，且當(dāng) f ( x ) 在點(diǎn) x_o可導(dǎo)時(shí)，其微分一定是

函數(shù)的微分是

通常把稱為自變量的微分，記作 dx ，即

于是函數(shù)的微分可寫(xiě)成

而導(dǎo)數(shù)可寫(xiě)成

即導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分 dy 與自變量的微分 dx 之商。

 

（二）基本微分公式與微分法則

1 ．基本微分公式

 

 

2 ．函數(shù)和、差、積、商的微分法則

設(shè)函數(shù) u = u ( x ）、v＝ v ( x ）均可微，則

 

（三）微分的應(yīng)用

 

（四）例題

【 例 1-2 -29 】

［解］

五、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）中值定理

1 ．若函數(shù) f ( x ）在閉區(qū)間[ a ，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（ a , b ）內(nèi)可導(dǎo)，且 f ( a ) = f ( b ) ，則至少有一點(diǎn)ξ∈（ a， b ) ，使得 f ' (ξ）＝ 0。

2 ．拉格朗日中值定理

若函數(shù) f ( x ）在閉區(qū)間［ a ，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（ a , b ）內(nèi)可導(dǎo)，則至少有一 點(diǎn)ξ∈（ a， b )，使得下式成立

 

（二）求未定式的值的方法 ― 羅必塔法則

1 ．未定式0/0與   的情形

關(guān)于要0/0的情形：

設(shè)（ 1 )當(dāng) x  → a （或 x→∞）時(shí)， f （x）→0 且 f ( x ) → 0 ,

( 2 ) 在點(diǎn) a 的某去心鄰域內(nèi)（或當(dāng)｜x｜> n 時(shí)） , f ' ( x ）及 f ' ( x ）都存在且f ' （x）0 ,

則                        

若 仍屬0/0型 ，且 f ' ( x ）、 f ' （x）滿足上述三個(gè)條件，則可繼續(xù)運(yùn)用羅必塔法則，即

 

（三）函數(shù)性態(tài)的判別

1 ．函數(shù)單調(diào)性的判定

利用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定，如表 1-2-1 所示。

2 ．函數(shù)極值的判定

利用一階導(dǎo)數(shù)判定，如表 1-2-2 所示。

利用二階導(dǎo)數(shù)判定，如表1-2-3 所示。

3 ．曲線凹、凸及其拐點(diǎn)的判定

利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定曲線的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。

連續(xù)曲線 y = f ( x ）上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn)。如果 f " （x₀）=0,而 f " ( x ）在x₀的左右兩側(cè)鄰近異號(hào)，則點(diǎn)（x₀， f ( x_o ) ）就是一個(gè)拐點(diǎn)。

4 ．曲線的漸近線

若 =y₀，則曲線 y = f ( x ）有水平漸近線 y = y₀ ;

若 =,則曲線 y ＝f ( x ) 有鉛直漸近線 x = x ₀；

 

（四）最大值最小值問(wèn)題

設(shè) f ( x ）在閉區(qū)間 [ a , b] 上連續(xù)、除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)且至多在有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，求 f （x）在 [ a ，b]上的最大值與最小值的一般方法：

設(shè) f ( x ）在（ a , b ）內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)為 x₁，… , x_n，則比較

的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。

六、偏導(dǎo)數(shù)全微分

（一）偏導(dǎo)數(shù)與全微分

 1 ．偏導(dǎo)數(shù)概念

函數(shù)z = f（ x,y ）對(duì) x、y ,的偏導(dǎo)數(shù)依次記作（或 f_x（ x ,y ））  ，  （或 f_y , （ x, y ） ） ，它們的定義如下：

類似地，可以定義三元函數(shù) f （ x , y , z ）的偏導(dǎo)數(shù)f_x（x， y , z ）、f_y（ x , y ，z）、f_z（ x , y ，z）等.

按定義，偏導(dǎo)數(shù)的求法仍屬一元函數(shù)微分法的問(wèn)題。

2 ．多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)u = （ x ，y）、 v ＝（ x ，y）均具有偏導(dǎo)數(shù)，而z＝f（u ， v ）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z ＝f [ （ x ，y），（ x ，y）］的偏導(dǎo)數(shù)存在，且

上面這一求導(dǎo)法則，簡(jiǎn)稱為 2 ×2 法則或標(biāo)準(zhǔn)法則。從這標(biāo)準(zhǔn)法則的公式結(jié)構(gòu)，可得它的特征如下：

①                       由于函數(shù) z = f [ （ x ，y），（ x ，y）］有兩個(gè)自變量，所以法則中包含及的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)公式。

 ② 由于函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)中有兩個(gè)中間變量，所以每一偏導(dǎo)數(shù)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩項(xiàng)分別含有及。

③ 每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相類似，即“因變量對(duì)

間變量的導(dǎo)數(shù)再乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)”。

由此可見(jiàn)，掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的關(guān)鍵是弄清函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，哪些是中間變量，哪些是自變量。為直觀地顯示變量之間的復(fù)合結(jié)構(gòu)，可用結(jié)構(gòu)圖（或稱樹(shù)形圖） 1-2 -1 來(lái)表示出因變量 z 經(jīng)過(guò)中間變量u 、 v 再通向自變量 x 、 y 的各條途徑。

按照上述標(biāo)準(zhǔn)法則的三個(gè)特征，我們可以將多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣。

如，特別當(dāng)有一個(gè)自變量，u ＝（x ） , v ＝（ x ） , z = f （ u , v ）時(shí)，由于函數(shù) z = f ［（x ）， ） ，（ x ）］只有一個(gè)自變量，偏導(dǎo)數(shù)變成導(dǎo)數(shù)（這時(shí)稱為全導(dǎo)數(shù)）；函數(shù)復(fù)合結(jié)構(gòu)中有兩個(gè)中間變量，所以全導(dǎo)數(shù)公式中是兩項(xiàng)之和；每項(xiàng)構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則類似。于是，有全導(dǎo)數(shù)公式

又如， u ＝（x ，y）， v ＝（y）， z = f （ u , v ） ，復(fù)合函數(shù) z =f ［（x ，y）, （ y） ］的結(jié)構(gòu)圖如圖 1-2 - 2 所示。類似地依以上分析，則有

             

3 ．隱函數(shù)求導(dǎo)法則

設(shè)方程 f （ x , y , z ） = 0 確定一個(gè)隱函數(shù) z = f （ x ，y），函數(shù) f （ x , y , z ）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且f_z ≠0 ，則有

 

4 ．高階偏導(dǎo)數(shù)

二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階偏導(dǎo)數(shù)，如 z = f （x  ,y）的二階偏導(dǎo)數(shù)按求導(dǎo)次序不同有下列四個(gè)：

 

5 ．全微分概念

若函數(shù) z = f （ x ，y）的全增量

其中 a 、 b 僅與x， y 有關(guān)，而，則稱函數(shù)z＝ f （ x ，y）在點(diǎn) （ x ，y）可微分，并稱為函數(shù) z = f（x, y）的全微分，記作 dz ，即

函數(shù)可微分的充分條件是函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

習(xí)慣上，記,故

（二）多元函數(shù)連續(xù)、可（偏）導(dǎo)、可微分的關(guān)系

對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)可導(dǎo)必定連續(xù)，而可導(dǎo)與可微分兩者是等價(jià)的。但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，可（偏）導(dǎo)（即存在偏導(dǎo)數(shù)）與連續(xù)沒(méi)有必然的聯(lián)系，可（偏）導(dǎo)與可微分也并不等價(jià)。多元函數(shù)可微分必定可（偏）導(dǎo)，但反之不真。當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時(shí)，函數(shù)必定可微分。

上述多元函數(shù)連續(xù)、可（偏）導(dǎo)與可微分的關(guān)系，可用圖 1-2-3 表示如下：

 

（三）偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1 ．空間曲線的切線與法平面

空間曲線：

在對(duì)應(yīng)參數(shù) t = t₀ 的點(diǎn)（ x₀ , y₀，z₀）處的切線方程為

法平面方程為

2 ．曲面的切平面與法線

曲面∑： f （x，y , z ） = 0 在其上一點(diǎn) m （ x₀ , y₀ , z₀ ）處的切平面方程為

法線方程是

 

4 ．多元函數(shù)的極值

設(shè) z = f （ x ，y）在點(diǎn)（ x₀ , y₀ ）具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn)（ x₀, y₀ ）取得極值的必要條件是

設(shè) z = f （ x ，y）在點(diǎn)（ x₀ , y₀ ）的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

則有

（1）當(dāng) ac-b² > 0 時(shí)，具有極值f（x₀,y₀），且當(dāng) a < 0 時(shí)，f（x₀,y₀）為極大值，當(dāng) a > 0 時(shí)， f（x₀,y₀）為極小值；

（2）當(dāng) ac-b ²< 0 時(shí)，f（x₀,y₀）不是極值。

（四）例題