（二）極限存在準則和兩個重要極限

2 ．單調有界準則和極限

準則ii  單調有界的數列（或函數）必有極限。

利用準則ii，可得另一個重要極限

其中 e 是一個無理數， e =2 . 71828 … …

（三）無窮小的比較

       設 a 及都是在同一個自變量變化過程中的無窮小,且0， lim 也是在這個變化過程中的極限。

若 lim =0，就稱是比a高階的無窮小，記作=（a）；并稱a是比低階的無

窮小；

若 lim =c 0，就稱是與 a 同階的無窮小；

若 lim =1, 就稱是與 a 等階的無窮小，記作a 。

關于等價無窮小，有以下性質：

若,且 lim 存在，則

當 x  0時，有以下常用的等價無窮小：

（四）例題

一般地，對有理分式函數

其中p（ x ）、 q （ x ）是多項式， 若（x）=q（x₀） 0,則

注意：若 q （ x ₀） = 0 ，則關于商的極限運算法則不能應用，需特殊考慮。

【例1-2-2】         求

【 解 】  （x²- 9 ） = 0 ，不能應用商的極限運算法則。但分子、分母有公因子x-3,故

 

【例1-2-3】         。

【 解 】  （ x₂-5x+4）=0, （2x-3）= -1,故

從而

【例 l -2 -4】 求。

【 解 】   當 x  時，分子、分母都為無窮大，不能應用商的極限運算法則，但可先用 x3 去除分子、分母，故

 

【例1-2-5】  等于

（ a ） 1   

（ b ） 0   

（ c ）不存在且不是     

（ d ）

【解】  由于=0，，按照“有界函數與無窮小的乘積是無窮小”，故應選（b）, 注意不要與極限=1相混淆。

 

【例1-2-6】         求。

【例1-2-6】         求。

【 解 】 令 x＝- t ,則當 x  時，t 。于是

 

【例1-2-7】         求。

 

【例1-2-8】         求。

【解】當 x 0 時，tan2x  2x, sin5x  5x，所以

 

【例1-2-9】         求。

【解】  當 x 0時，,cosx-1-,所以